Um pesquisador quer comparar as variâncias de horas de estudo entre estudantes de dois cursos. No curso A, com 21 alunos, o desvio padrão das horas de estudo foi de 2 horas. No curso B, com 25 alunos, o desvio padrão foi de 3 horas. Verifique se as variâncias entre os cursos são iguais, utilizando um nível de significância de 95 \%. ( F_{\text {tab1 }}=0,415 e F_{\text {tab2 }}=2,327 )

Passo 1

O enunciado pede para verificar se as variâncias das horas de estudo entre dois cursos são iguais, ao nível de significância de 95\%. Dados fornecidos:
  • Curso A: n_A=21 alunos, desvio padrão s_A=2 horas.
  • Curso B: n_B=25 alunos, desvio padrão s_B=3 horas.
    Também foram fornecidos os valores tabulados críticos para o teste: F_{\text{tab1}}=0,415 e F_{\text{tab2}}=2,327.
    As perguntas implícitas são: formular o teste de hipótese sobre igualdade de variâncias, calcular a estatística do teste e concluir se rejeitamos ou não a hipótese de igualdade usando os F_{\text{tab}} dados.

Passo 2

Formulamos as hipóteses do teste (teste bilateral para igualdade de variâncias):
H_0:\\ \sigma_A^2=\sigma_B^2
H_1:\\ \sigma_A^2\neq\sigma_B^2
Explicação didática: H_0 diz que as variâncias populacionais dos dois cursos são iguais; H_1 diz que são diferentes. O nível de significância \alpha é 0,05 (ou 5\%), e por ser bilateral dividimos a área de rejeição em duas caudas ( 0,025 em cada uma).

Passo 3

Escolha da estatística de teste e graus de liberdade:
A estatística típica para comparar duas variâncias amostrais é a razão de variâncias amostrais,
F=\frac{s_A^2}{s_B^2}.
Aqui s_A^2 e s_B^2 são as variâncias amostrais (quadrado dos desvios padrão). Os graus de liberdade associados são
\text{df}_A = n_A-1=21-1=20,
\text{df}_B = n_B-1=25-1=24.
Explicação didática: a distribuição F que usamos depende desses dois graus de liberdade. Para um teste bilateral com esses graus, o crítico inferior (esquerda) e superior (direita) são os F_{\text{tab}} fornecidos.

Passo 4

Calcule as variâncias amostrais a partir dos desvios padrão dados:
s_A^2 = (s_A)^2 = 2^2 = 4,
s_B^2 = (s_B)^2 = 3^2 = 9.
Explicação didática: variância amostral é o quadrado do desvio padrão amostral. Aqui é simples porque os desvios padrão já foram dados.

Passo 5

Calcule a estatística F:
F=\frac{s_A^2}{s_B^2}=\frac{4}{9}=\frac{4}{9}\approx 0,444\overline{4}.
Cálculo passo a passo: dividir 4 por 9 0,444\ldots (repetindo). Mantemos três casas decimais como aproximação 0,444.

Passo 6

Defina a região crítica usando os valores tabulados fornecidos:
Os críticos dados são F_{\text{tab1}}=0,415 (limite inferior) e F_{\text{tab2}}=2,327 (limite superior). Para o teste bilateral, rejeitamos H_0 se
F < F_{\text{tab1}}\quad\text{ou}\quad F > F_{\text{tab2}}.
Explicação didática: a razão F deve cair fora do intervalo [F_{\text{tab1}},\,F_{\text{tab2}}] para rejeitarmos igualdade de variâncias ao nível de significância escolhido.

Passo 7

Compare a estatística calculada com os críticos e conclua:
Temos F\approx 0,444. Observando os críticos:
F_{\text{tab1}}=0,415 < F=0,444 < F_{\text{tab2}}=2,327.
Portanto F não está na região de rejeição (nem menor que 0,415, nem maior que 2,327). Conclusão: não rejeitamos H_0.
Complemento didático (checagem alternativa): se preferirmos colocar sempre a variância maior no numerador para obter F\ge 1, fazemos
F'=\frac{s_B^2}{s_A^2}=\frac{9}{4}=2,25.
Comparando com o limite superior F_{\text{tab2}}=2,327 (com os graus de liberdade trocados apropriadamente), temos 2,25<2,327, o que também leva a não rejeitar H_0. Isso é só para reforçar que ambas as formas dão a mesma conclusão quando feitas corretamente.

Passo 8

Interpretação final e motivação:
Não rejeitar H_0 significa que, com os dados disponíveis e ao nível de confiança de 95\%, não há evidência estatística suficiente para afirmar que as variâncias das horas de estudo entre os cursos A e B são diferentes. Em outras palavras, as variações observadas nas horas de estudo podem ser compatíveis com variâncias populacionais iguais.

Resposta

Não rejeita-se H_0. Não há evidência suficiente, ao nível de significância de 95\%, para afirmar que as variâncias dos dois cursos são diferentes.

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