Três partículas com cargas de 3 \mathrm{nC}, 5 \mathrm{nCe}-8 \mathrm{nC} encontram-se nos vértices de um triângulo equilátero de 4 mm de lado. Determine a força total sobre a partícula de carga negativa.

Passo 1

O enunciado coloca três cargas puntuais nos vértices de um triângulo equilátero de lado L=4\,\mathrm{mm}:
\,q_1=3\,\mathrm{nC}, \,q_2=5\,\mathrm{nC} e \,q_3=-8\,\mathrm{nC}.
Pede-se a força total sobre \,q_3.
O conteúdo usado será a Lei de Coulomb e soma vetorial de forças.

Passo 2

A Lei de Coulomb dá a magnitude de cada força entre duas cargas:
F = k\,\frac{|q_i\,q_j|}{r^2},
onde \,k=9\times10^9\;\mathrm{N\cdot m^2/C^2} e r=L=4\times10^{-3}\,\mathrm m.
Para \,q_1 e \,q_3:
F_1 = 9\times10^9\,\frac{(3\times10^{-9})(8\times10^{-9})}{(4\times10^{-3})^2} =0,0135\;\mathrm N.
Para \,q_2 e \,q_3:
F_2 = 9\times10^9\,\frac{(5\times10^{-9})(8\times10^{-9})}{(4\times10^{-3})^2} =0,0225\;\mathrm N.

Passo 3

Escolhemos o sistema de coordenadas em que \,q_3 está na origem.
As posições de \,q_1 e \,q_2 ficam em
\mathbf r_1 = \Bigl(-\tfrac{L}{2},\,\tfrac{\sqrt3\,L}{2}\Bigr), \quad \mathbf r_2 = \Bigl(+\tfrac{L}{2},\,\tfrac{\sqrt3\,L}{2}\Bigr).
Os vetores unitários são
\hat u_1 = \Bigl(-\tfrac12,\;\tfrac{\sqrt3}{2}\Bigr), \quad \hat u_2 = \Bigl(+\tfrac12,\;\tfrac{\sqrt3}{2}\Bigr).

Passo 4

Agora, cada força vetorial é
\mathbf F_1 = F_1\,\hat u_1 = \bigl(-0,00675,\;0,01169\bigr)\;\mathrm N,
\mathbf F_2 = F_2\,\hat u_2 = \bigl(+0,01125,\;0,01949\bigr)\;\mathrm N.
Somando componente a componente:
F_x = -0,00675 + 0,01125 = 0,00450\;\mathrm N, \quad F_y = 0,01169 + 0,01949 = 0,03118\;\mathrm N.

Passo 5

A magnitude e a direção do resultado são
F_{\rm tot} = \sqrt{F_x^2 + F_y^2} = \sqrt{(0,00450)^2 + (0,03118)^2} \approx 0,0315\;\mathrm N,
\theta = \arctan\!\bigl(\tfrac{F_y}{F_x}\bigr) = \arctan\!\bigl(\tfrac{0,03118}{0,00450}\bigr) \approx 82^\circ
acima do eixo x, ou seja, quase vertical, inclinada 8^\circ em direção à carga de 5\,\mathrm{nC}.

Resposta

A força total sobre a carga de -8\,\mathrm{nC} vale aproximadamente
0,0315\;\mathrm N
e está dirigida 82^\circ acima do eixo horizontal, em direção à carga de 5\,\mathrm{nC}.

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