0 campo elétrico a uma distância de 0,145 \mathrm{~m} da superficie de uma esfera isolante maciça, com raio igual a 0,355 \mathrm{~m}, é de 1750 \mathrm{~N} / \mathrm{C} .
a. Supondo que a carga da esfera esteja uniformemente distribuida, qual é a densidade da carga dentro dela?
b. Calcule o campo elétrico no interior da esfera a uma distancia de 0,200 m do centro.
c. Calcule o campo elétrico a uma distância de 0,600 m do centro, no exterior da esfera.

Passo 1

O enunciado dá uma esfera isolante maciça de raio R=0,355\mathrm{~m} com carga distribuída uniformemente e informa que o campo elétrico a uma distância de 0,145\mathrm{~m} da superfície (ou seja, r=R+0,145=0,500\mathrm{~m} do centro) é E=1750\mathrm{~N/C}. Pede-se:
a) a densidade volumétrica de carga \rho,
b) o campo no interior em r=0,200\mathrm{~m},
c) o campo no exterior em r=0,600\mathrm{~m}.
Vamos usar a lei de Gauss.

Passo 2

Para achar a carga total Q, aplicamos a lei de Gauss em uma superfície esférica de raio r=0,500\mathrm{~m}. O fluxo é
\Phi = E\cdot 4\pi r^2
e, pela lei de Gauss, \Phi = Q/\varepsilon_0. Logo,
Q = \varepsilon_0 \,E\,4\pi r^2.
Substituindo \varepsilon_0=8{,}854\times10^{-12}\mathrm{~C^2/N\,m^2}, E=1750\mathrm{~N/C} e r=0,500\mathrm{~m}, obtemos
Q = 8{,}854\times10^{-12}\cdot1750\cdot4\pi\cdot(0,500)^2 \approx 4{,}87\times10^{-8}\mathrm{~C}.

Passo 3

A densidade volumétrica de carga é \rho = Q/V, onde o volume da esfera é V=\tfrac{4}{3}\pi R^3. Logo,
\rho = \frac{Q}{\tfrac{4}{3}\pi R^3} = \frac{4{,}87\times10^{-8}}{\tfrac{4}{3}\pi\,(0,355)^3} \approx 2{,}59\times10^{-7}\mathrm{~C/m^3}.

Passo 4

Para o interior r<R, o campo elétrico varia linearmente com r. De Gauss,
E(r)\,4\pi r^2 = \frac{\rho\,\tfrac{4}{3}\pi r^3}{\varepsilon_0} \quad\Longrightarrow\quad E(r) = \frac{\rho\,r}{3\varepsilon_0}.
Em r=0,200\mathrm{~m},
E(0{,}200) = \frac{2{,}59\times10^{-7}\cdot0,200}{3\cdot8{,}854\times10^{-12}} \approx 1,95\times10^{3}\mathrm{~N/C}.

Passo 5

Para o exterior r>R, usamos
E(r) = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{Q}{r^2}.
Em r=0,600\mathrm{~m},
E(0{,}600) = \frac{4{,}87\times10^{-8}}{4\pi\cdot8{,}854\times10^{-12}\cdot(0,600)^2} \approx 1,22\times10^{3}\mathrm{~N/C}.

Resposta

a. \rho \approx 2{,}59\times10^{-7}\mathrm{~C/m^3}.
b. E(0{,}200\,\mathrm{m})\approx 1,95\times10^{3}\mathrm{~N/C}.
c. E(0{,}600\,\mathrm{m})\approx 1,22\times10^{3}\mathrm{~N/C}.

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