Calcular o campo elétrico de uma casca esférica não condutora, uniformemente carregada, de raio R.

Passo 1

O enunciado pede o campo elétrico \vec E(r) de uma casca esférica não condutora de raio R e carga total Q distribuída uniformemente sobre a superfície. Para resolver vamos usar o Teorema de Gauss e explorar a simetria esférica do problema.

Passo 2

Segundo a Lei de Gauss, para uma superfície fechada qualquer,
\oint \vec E\cdot d\vec A = \frac{Q_{\rm int}}{\varepsilon_0},
onde Q_{\rm int} é a carga envolvida pela superfície. Pela simetria esférica assume-se \vec E(r)=E(r)\,\hat r constante em uma esfera de raio r, e a área dessa esfera é 4\pi r^2.

Passo 3

Para r<R (dentro da casca) não há carga envolvida, pois toda a carga está na superfície de raio R. Logo Q_{\rm int}=0 e
E(r)\,4\pi r^2 = 0 \quad\Rightarrow\quad E(r)=0.

Passo 4

Para r>R (fora da casca) toda a carga Q está dentro da superfície gaussiana de raio r. Então
E(r)\,4\pi r^2 = \frac{Q}{\varepsilon_0} \quad\Rightarrow\quad E(r)=\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0\,r^2}.
O vetor campo resultante é radial. Para carga Q>0 ele aponta para fora \hat r, e para Q<0 aponta para dentro -\,\hat r.

Resposta

Para um ponto a distância r do centro da casca:
\vec E(r) = \begin{cases} 0, & r < R,\\[6pt] \dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_0\,r^2}\,\hat r, & r > R. \end{cases}]

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