Calcule utilizando integrais o centro de massa de uma placa retangular com:

Passo 1

Então vamos lá: o exercício pede para a gente calcular, por meio de integrais duplas, o centro de massa de uma placa retangular. Esse assunto é de Cálculo II, mais especificamente a parte de integrais duplas e centro de massa de uma região. Para resolver isso precisamos saber:
  1. a função densidade da placa, ρ(x,y);
  2. os limites da região (os “tamanhos” do retângulo).
Como o enunciado não deixou isso 100% claro, a gente vai assumir o caso clássico e mais comum:
– A placa ocupa a região R = { (x,y) : 0 ≤ x ≤ a, 0 ≤ y ≤ b }
– A densidade é uniforme, ou seja, ρ(x,y) = ρ₀ (constante).
Com isso definido, já podemos partir para as fórmulas e a conta.

Passo 2

Relembrando a teoria:
– A massa total M da placa é
M = integral duplaR rho(x,y),dA
– As coordenadas do centro de massa são
barx = 1Mintegral duplaR x,rho(x,y),dA, bary = 1Mintegral duplaR y,rho(x,y),dA

Passo 3

Calculando primeiro a massa M, já que ρ(x,y)=ρ₀:
M = integral duplaR rho₀,dA = rho₀ integralx=0^a !!integraly=0^b dy,dx = rho₀ integral0^a l[br],dx = rho₀,b,a

Passo 4

Agora ⟨x⟩:
integral duplaR x,rho(x,y),dA = rho₀ integral0^a!!integral0^b x,dy,dx = rho₀ integral0^a l[x,br],dx = rho₀,b integral0^a x,dx = rho₀,b ,a^22
Então
barx = 1M,rho₀,b,a^22 = rho₀,b,a^2/2rho₀,a,b = a2

Passo 5

E ⟨y⟩ segue igual, trocando x por y e a por b:
integral duplaR y,rho(x,y),dA = rho₀ integral0^a!!integral0^b y,dy,dx = rho₀,a integral0^b y,dy = rho₀,a,b^22,
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bary = 1M,rho₀,a,b^22 = rho₀,a,b^2/2rho₀,a,b = b2

Resposta

O centro de massa da placa retangular uniforme em [0,a]×[0,b] é
boxedl(barx,baryr) = l(tfraca2,,tfracb2r)

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