Calcule utilizando integrais o centro de massa de uma placa retangular com:
Passo 1
Então vamos lá: o exercício pede para a gente calcular, por meio de integrais duplas, o centro de massa de uma placa retangular. Esse assunto é de Cálculo II, mais especificamente a parte de integrais duplas e centro de massa de uma região. Para resolver isso precisamos saber:
- a função densidade da placa, ρ(x,y);
- os limites da região (os “tamanhos” do retângulo).
Como o enunciado não deixou isso 100% claro, a gente vai assumir o caso clássico e mais comum:
– A placa ocupa a região R = { (x,y) : 0 ≤ x ≤ a, 0 ≤ y ≤ b }
– A densidade é uniforme, ou seja, ρ(x,y) = ρ₀ (constante).
– A placa ocupa a região R = { (x,y) : 0 ≤ x ≤ a, 0 ≤ y ≤ b }
– A densidade é uniforme, ou seja, ρ(x,y) = ρ₀ (constante).
Com isso definido, já podemos partir para as fórmulas e a conta.
Passo 2
Relembrando a teoria:
– A massa total M da placa é
– A massa total M da placa é
– As coordenadas do centro de massa são
Passo 3
Calculando primeiro a massa M, já que ρ(x,y)=ρ₀:
Passo 4
Agora ⟨x⟩:
Então
Passo 5
E ⟨y⟩ segue igual, trocando x por y e a por b:
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Resposta
O centro de massa da placa retangular uniforme em [0,a]×[0,b] é