Demonstre a partir das condições de equilíbrio mecânico que a relação entre as forças
e
é dada por
. Sendo
o coeficiente de atrito entre a polia e a corda. Considere que o movimento ocorrerá para a direita. Faça a análise desse resultado.
Passo 1
Beleza, o enunciado pede para a gente mostrar que, quando uma corda passa por uma polia e está prestes a deslizar para a direita, as tensões nos dois lados satisfazem
Isso faz parte da teoria de atrito entre polias (chamada de “equação do capstan” ou “eixo de torno”), e para resolver precisamos:
- Entender o equilíbrio de um pedacinho infinitesimal da corda sobre a polia;
- Aplicar a lei do atrito (força de atrito = coeficiente × normal);
- Montar uma equação diferencial e integrar de 0 até o ângulo de contato β.
Passo 2
Vamos olhar para um pedacinho da corda que cobre um ângulo infinitesimal dθ na polia. Nesse trecho, temos:
- De um lado uma tensão
; - Do outro, tensão
; - Uma força normal dN, que a polia faz na corda;
- Uma força de atrito dF, que impede o deslizamento.
A ideia é escrever o equilíbrio de forças nesse pedacinho, na direção tangencial.
Passo 3
Equilíbrio tangencial: a soma das forças ao longo da corda deve dar zero, ou seja
Então definimos:
- dT =
(variação de tensão); - pela lei do atrito estático,
.
Passo 4
Agora precisamos achar dN. Num elemento de ângulo dθ a corda exerce na polia uma força normal que vale
Porque, num arco circular, a resultante das componentes normais das tensões é esse produto. Logo
Voltando ao equilíbrio:
Isso dá a equação diferencial
Passo 5
Integramos dos limites correspondentes: quando θ vai de 0 até β, a tensão vai de
até
. Então
Elevando exponencial em ambos os lados, chega-se a
Passo 6
- Quanto maior o ângulo de contato β ou o coeficiente μₛ, maior a diferença entre
e . - É uma relação exponencial, então pequenas mudanças em μₛ·β podem aumentar muito
. - Se você quer segurar algo pesado com pouco esforço, basta aumentar o número de voltas da corda na polia (β) ou usar um material mais rugoso (μₛ).