Demonstre a partir das condições de equilíbrio mecânico que a relação entre as forças T1 e T2 é dada por T2=T1 e^mus beta. Sendo mus o coeficiente de atrito entre a polia e a corda. Considere que o movimento ocorrerá para a direita. Faça a análise desse resultado.

Passo 1

Beleza, o enunciado pede para a gente mostrar que, quando uma corda passa por uma polia e está prestes a deslizar para a direita, as tensões nos dois lados satisfazem
T2 = T1,e^mus,beta,
Isso faz parte da teoria de atrito entre polias (chamada de “equação do capstan” ou “eixo de torno”), e para resolver precisamos:
  1. Entender o equilíbrio de um pedacinho infinitesimal da corda sobre a polia;
  2. Aplicar a lei do atrito (força de atrito = coeficiente × normal);
  3. Montar uma equação diferencial e integrar de 0 até o ângulo de contato β.

Passo 2

Vamos olhar para um pedacinho da corda que cobre um ângulo infinitesimal dθ na polia. Nesse trecho, temos:
  • De um lado uma tensão ;
  • Do outro, tensão ;
  • Uma força normal dN, que a polia faz na corda;
  • Uma força de atrito dF, que impede o deslizamento.
    A ideia é escrever o equilíbrio de forças nesse pedacinho, na direção tangencial.

Passo 3

Equilíbrio tangencial: a soma das forças ao longo da corda deve dar zero, ou seja
T(theta + dtheta) - T(theta) - dF = 0
Então definimos:
  1. dT = (variação de tensão);
  2. pela lei do atrito estático, .

Passo 4

Agora precisamos achar dN. Num elemento de ângulo dθ a corda exerce na polia uma força normal que vale
dN = T(theta),dtheta
Porque, num arco circular, a resultante das componentes normais das tensões é esse produto. Logo
dF = mus,dN = mus,T(theta),dtheta
Voltando ao equilíbrio:
dT = dF = mus,T(theta),dtheta
Isso dá a equação diferencial
dTT = mus,dtheta

Passo 5

Integramos dos limites correspondentes: quando θ vai de 0 até β, a tensão vai de integralT1^T2dTT = musintegral0^betadtheta Longrightarrow lnT2T1 = mus,beta até T2 = T1,e^mus,beta . Então
Elevando exponencial em ambos os lados, chega-se a

Passo 6

  • Quanto maior o ângulo de contato β ou o coeficiente μₛ, maior a diferença entre e .
  • É uma relação exponencial, então pequenas mudanças em μₛ·β podem aumentar muito .
  • Se você quer segurar algo pesado com pouco esforço, basta aumentar o número de voltas da corda na polia (β) ou usar um material mais rugoso (μₛ).

Resposta

boxedT2 = T1,e^mus,beta

Exercícios relacionados