Três partículas de massas m_{1}=1,2 \mathrm{~kg}, m_{2}=2,5 \mathrm{~kg} e \mathrm{m}_{3}=2,3 \mathrm{~kg} formam um triângulo equilátero de lado a=140 \mathrm{~cm}. O centro de massa do sistema fica, aproximadamente, em
(A) X_{C M}=56 \mathrm{~cm} e Y_{C M}=96 \mathrm{~cm}.
(B) X_{C M}=46 \mathrm{~cm} e Y_{C M}=85 \mathrm{~cm}.
(C) X_{C M}=50 \mathrm{~cm} e Y_{C M}=95 \mathrm{~cm}.
(D) X_{C M}=95 \mathrm{~cm} e Y_{C M}=50 \mathrm{~cm}.

Passo 1

O enunciado dá três partículas de massas m_{1}=1{,}2 kg, m_{2}=2{,}5 kg e m_{3}=2{,}3 kg nos vértices de um triângulo equilátero de lado a=140 cm e pede as coordenadas do centro de massa (X_{CM},Y_{CM}). Para resolver vamos posicionar o triângulo num plano cartesiano de modo a facilitar o cálculo: escolhemos um vértice na origem e um lado sobre o eixo x.

Passo 2

Colocamos
(x_1,y_1)=(0,0),\quad m_1=1{,}2
(x_2,y_2)=(a,0)=(140,0),\quad m_2=2{,}5
(x_3,y_3)=\Bigl(\tfrac{a}{2},\tfrac{\sqrt{3}}{2}\,a\Bigr)=\bigl(70,70\sqrt{3}\bigr),\quad m_3=2{,}3.
O centro de massa é dado pelas fórmulas
X_{CM}=\frac{m_1x_1+m_2x_2+m_3x_3}{m_1+m_2+m_3},
Y_{CM}=\frac{m_1y_1+m_2y_2+m_3y_3}{m_1+m_2+m_3}.

Passo 3

Calculamos primeiro o denominador (massa total):
M = m_1+m_2+m_3 = 1{,}2 + 2{,}5 + 2{,}3 = 6{,}0\\ {\rm kg}.
Agora o numerador de X_{CM}:
m_1x_1 + m_2x_2 + m_3x_3 = 1{,}2 \cdot 0 + 2{,}5 \cdot 140 + 2{,}3 \cdot 70 = 0 + 350 + 161 = 511\\ {\rm cm}.
Logo
X_{CM} = \frac{511}{6} \approx 85{,}2\\ {\rm cm}.

Passo 4

Numerador de Y_{CM}:
m_1y_1 + m_2y_2 + m_3y_3 = 1{,}2 \cdot 0 + 2{,}5 \cdot 0 + 2{,}3 \cdot (70\sqrt{3}) = 2{,}3 \times 70\sqrt{3}.
Como \sqrt{3}\approx1{,}732, temos
70\sqrt{3}\approx121{,}24 \quad\Longrightarrow\quad 2{,}3 \times 121{,}24 \approx278{,}9.
Assim
Y_{CM} = \frac{278{,}9}{6} \approx 46{,}5\\ {\rm cm}.

Passo 5

Comparando com as alternativas, o único par que está na região X_{CM}>70 cm e Y_{CM}<70 cm (próximo de (85,2;46,5)) é a alternativa (D).

Resposta

(D) X_{CM}=95 cm e Y_{CM}=50 cm.

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