(a) Qual é o módulo do momento linear de um caminhão de 10000 k g que se desloca com velocidade de 10 \mathrm{~m} / \mathrm{s} ?
(b) Qual deve ser a velocidade de um carro esportivo de 2000 k g para que ele tenha: (i) a mesma energia cinética ?, (ii) o mesmo momento linear do caminhão?

Passo 1

O enunciado pede duas coisas, com os dados abaixo:
  • Dados fornecidos:
    • massa do caminhão: m_{\text{caminhão}} = 10000\\ \mathrm{kg}ã;
    • velocidade do caminhão: v_{\text{caminhão}} = 10\\ \mathrm{m/s}ã;
    • massa do carro esportivo: m_{\text{carro}} = 2000\\ \mathrm{kg}.
  • Perguntas:
    1. (a) Qual é o módulo do momento linear do caminhão?
    2. (b) Que velocidade deve ter o carro de 2000\\ \mathrm{kg} para que ele tenha:
      (i) a mesma energia cinética do caminhão;
      (ii) o mesmo momento linear do caminhão?

Passo 2

Entendendo o que é momento linear (aula rápida).
  • Definição: o momento linear (ou quantidade de movimento) de um corpo é dado por
\vec{p} = m\vec{v},
onde:
  • \vec{p} é o vetor momento linear;
  • m é a massa do corpo (em \mathrm{kg});
  • \vec{v} é a velocidade (em \mathrm{m/s}).
  • O módulo do momento linear, quando queremos só o valor numérico, é
p = m\,v,
isto é, multiplicamos a massa pela velocidade (as unidades ficam \mathrm{kg\cdot m/s}).

Passo 3

Aplicando a fórmula do momento linear ao caminhão:
p_{\text{caminhão}} = m_{\text{caminhão}}\;v_{\text{caminhão}}.ããã
Substituindo os valores:
p_{\text{caminhão}} = 10000\cdot 10 = 100000\\ \mathrm{kg\cdot m/s}.ã
Portanto o módulo do momento linear do caminhão é 100000\\ \mathrm{kg\cdot m/s}.

Passo 4

Entendendo o que é energia cinética (aula rápida).
  • Definição: a energia cinética de um corpo em movimento é
K = \tfrac{1}{2} m v^{2},
onde:
  • K é a energia cinética (em joules, \mathrm{J});
  • m é a massa (em \mathrm{kg});
  • v é a velocidade (em \mathrm{m/s}).
  • Para igualar energias cinéticas entre dois corpos, igualamos essas expressões e resolvemos para a velocidade desejada.

Passo 5

Calculando a energia cinética do caminhão (valor que o carro deverá igualar em (b)(i)):
K_{\text{caminhão}} = \tfrac{1}{2} m_{\text{caminhão}} v_{\text{caminhão}}^{2}.ããã
Substituindo:
K_{\text{caminhão}} = \tfrac{1}{2}\cdot 10000\cdot 10^{2} = \tfrac{1}{2}\cdot 10000\cdot 100.ã
Calculando:
K_{\text{caminhão}} = 0,5\cdot 1000000 = 500000\\ \mathrm{J}.ã
Logo, o carro deve ter energia cinética K_{\text{carro}} = 500000\\ \mathrm{J} para igualar o caminhão.

Passo 6

Encontrando a velocidade do carro para ter a mesma energia cinética (parte (b)(i)).
  • Igualamos:
\tfrac{1}{2} m_{\text{carro}} v_{\text{carro}}^{2} = K_{\text{caminhão}}.ã
Substituindo m_{\text{carro}}=2000\\ \mathrm{kg} e K_{\text{caminhão}}=500000\\ \mathrm{J}ã:
\tfrac{1}{2}\cdot 2000\cdot v_{\text{carro}}^{2} = 500000.
Simplificando o lado esquerdo:
1000\;v_{\text{carro}}^{2} = 500000.
Isolando v_{\text{carro}}^{2}:
v_{\text{carro}}^{2} = \frac{500000}{1000} = 500.
Tomando raiz quadrada:
v_{\text{carro}} = \sqrt{500}.
Podemos simplificar \sqrt{500}:
\sqrt{500} = \sqrt{100\cdot 5} = 10\sqrt{5}.
Aproximação numérica (usar \sqrt{5}\approx 2,23607):
v_{\text{carro}} \approx 10\cdot 2,23607 = 22,3607\\ \mathrm{m/s}.
Arredondando com duas casas decimais:
v_{\text{carro}} \approx 22,36\\ \mathrm{m/s}.

Passo 7

Encontrando a velocidade do carro para ter o mesmo momento linear do caminhão (parte (b)(ii)).
  • Sabemos p_{\text{caminhão}} = 100000\\ \mathrm{kg\cdot m/s}ã (Passo 3). Para o carro:
p_{\text{carro}} = m_{\text{carro}}\;v_{\text{carro}}.
Queremos p_{\text{carro}} = p_{\text{caminhão}}ã, então
m_{\text{carro}}\;v_{\text{carro}} = 100000.
Isolando v_{\text{carro}}:
v_{\text{carro}} = \frac{100000}{m_{\text{carro}}} = \frac{100000}{2000}.
Calculando:
v_{\text{carro}} = 50\\ \mathrm{m/s}.

Passo 8

Resumo numérico e interpretação rápida (para decorar na prova):
  • Momento do caminhão: 100000\\ \mathrm{kg\cdot m/s}.
  • Velocidade do carro para ter mesma energia cinética: 10\sqrt{5}\\ \mathrm{m/s} (aprox. 22,36\\ \mathrm{m/s}).
  • Velocidade do carro para ter mesmo momento linear: 50\\ \mathrm{m/s}.

Resposta

(a) 100000\\ \mathrm{kg\cdot m/s}
(b)(i) 10\sqrt{5}\\ \mathrm{m/s}\approx 22,36\\ \mathrm{m/s}
(b)(ii) 50\\ \mathrm{m/s}

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