Com três patinadores, colocados entre dois espelhos planos fixos, um diretor de cinema consegue uma cena onde são vistos, no máximo, 24 patinadores. Qual o ângulo entre os espelhos?

Passo 1

O enunciado diz que há três patinadores (três objetos reais) colocados entre dois espelhos planos, fixos, formando um certo ângulo entre si. O diretor obtém, nessa cena, no máximo, 24 patinadores visíveis (ou seja: somando os 3 reais e todas as imagens formadas pelos espelhos, o número total de figuras que se vê é, no máximo, 24). A pergunta é: qual é o ângulo entre os espelhos?
Informações relevantes:
  • Número de objetos reais: 3.
  • Número máximo de figuras vistas (reais + imagens): 24.
  • Objetivo: encontrar o ângulo entre os espelhos, isto é, \theta em graus.

Passo 2

Primeiro precisamos entender como contar as imagens formadas por dois espelhos planos inclinados um em relação ao outro.
Conceito essencial (explicação didática e intuitiva): cada vez que a luz é refletida em um espelho e depois no outro, o efeito total pode ser visto como uma rotação do objeto em torno do ponto de interseção dos espelhos. Mais precisamente, a composição de duas reflexões em retas que se cruzam com ângulo [\theta) equivale a uma rotação de 2\theta. Assim, ao refletir sucessivamente entre os dois espelhos vamos obter imagens dispostas como se o objeto fosse rotacionado por múltiplos de 2\theta. Esse raciocínio permite contar quantas imagens distintas aparecem ao redor do objeto até completar um círculo de 360^\circ.
Fórmula conhecida (e usada em provas): para um único objeto colocado entre dois espelhos que fazem ângulo \theta,
N=\begin{cases} \dfrac{360}{\theta}-1, & \text{se }\dfrac{360}{\theta}\in\mathbb{N},\\[6pt] \left\lfloor\dfrac{360}{\theta}\right\rfloor, & \text{caso contrário}, \end{cases}á
onde N\] é o número de imagens do objeto (ou seja, imagens além do objeto real). Vou explicar o significado: se \(360/\theta é inteiro, as rotações voltam exatamente a uma posição já obtida e há uma simetria que reduz uma contagem, daí o -1; se não é inteiro, o número de imagens é simplesmente a parte inteira de 360/\theta.
Exemplo rápido para fixar: se \theta=60^\circ, então 360/\theta=6 inteiro, e N=6-1=5. Para um objeto você veria 5 imagens (mais o objeto real, total 6 figuras).]

Passo 3

Agora relacionamos isso ao nosso problema com três objetos. Se para cada objeto há N imagens (além do próprio objeto), então o número total de figuras vistas (reais + imagens) é
\text{total} = 3 + 3N = 3(N+1),
pois cada um dos 3 patinadores contribui com o próprio e com suas N imagens (assumimos posição geral, sem coincidência de imagens de objetos diferentes).
O enunciado diz que esse total é, no máximo, 24. Para que o diretor consiga exatamente a cena com o máximo de 24 figuras, vamos igualar:
3(N+1)=24.

Passo 4

Resolvendo a equação do passo anterior:
3(N+1)=24 \quad\Rightarrow\quad N+1=8 \quad\Rightarrow\quad N=7.
Portanto, cada patinador deve gerar 7 imagens.

Passo 5

Agora aplicamos a fórmula do número de imagens para achar \theta. Temos duas possibilidades na fórmula dada no Passo 2.
Caso A: 360/\theta é inteiro. Então
N=\dfrac{360}{\theta}-1.
Com N=7 isso dá
7=\dfrac{360}{\theta}-1 \quad\Rightarrow\quad \dfrac{360}{\theta}=8 \quad\Rightarrow\quad \theta=\dfrac{360}{8}=45^\circ.
Caso B: 360/\theta não é inteiro. Então N=\left\lfloor 360/\theta\right\rfloor. Com N=7 isso significa
7 \le \dfrac{360}{\theta} < 8.
Invertendo a desigualdade (dividindo 360 pelos lados, lembrando que a desigualdade inverte):
\dfrac{360}{8} < \theta \le \dfrac{360}{7},
ou seja
45^\circ < \theta \le \dfrac{360}{7}^\circ \approx 51{,}4286^\circ.
Nessa faixa também teríamos N=7 e, portanto, total 24. Entretanto, o caso em que 360/\theta é inteiro (isto é, \theta=45^\circ) é a solução “especial” e limpa onde a contagem segue a fórmula com -1.

Passo 6

Interpretação final e escolha: o enunciado pede “Qual o ângulo entre os espelhos?” e dá um número máximo atingido de 24. A solução mais direta e clássica, que atende exatamente a condição e é única em forma simples, é \theta=45^\circ. Note que qualquer ângulo no intervalo 45^\circ<\theta\le 360/7^\circ também daria 7 imagens por patinador (pelo caso da parte inteira), mas o valor natural e usualmente esperado em questões desse tipo é o valor exato \theta=45^\circ (onde 360/\theta=8 inteiro).

Resposta

45^\circ

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