Com três patinadores, colocados entre dois espelhos planos fixos, um diretor de cinema consegue uma cena onde são vistos, no máximo, 24 patinadores. Qual o ângulo entre os espelhos?
Passo 1
O enunciado diz que há três patinadores (três objetos reais) colocados entre dois espelhos planos, fixos, formando um certo ângulo entre si. O diretor obtém, nessa cena, no máximo, 24 patinadores visíveis (ou seja: somando os 3 reais e todas as imagens formadas pelos espelhos, o número total de figuras que se vê é, no máximo, 24). A pergunta é: qual é o ângulo entre os espelhos?
Informações relevantes:
Número de objetos reais: 3.
Número máximo de figuras vistas (reais + imagens): 24.
Objetivo: encontrar o ângulo entre os espelhos, isto é, \theta em graus.
Passo 2
Primeiro precisamos entender como contar as imagens formadas por dois espelhos planos inclinados um em relação ao outro.
Conceito essencial (explicação didática e intuitiva): cada vez que a luz é refletida em um espelho e depois no outro, o efeito total pode ser visto como uma rotação do objeto em torno do ponto de interseção dos espelhos. Mais precisamente, a composição de duas reflexões em retas que se cruzam com ângulo [\theta) equivale a uma rotação de 2\theta. Assim, ao refletir sucessivamente entre os dois espelhos vamos obter imagens dispostas como se o objeto fosse rotacionado por múltiplos de 2\theta. Esse raciocínio permite contar quantas imagens distintas aparecem ao redor do objeto até completar um círculo de 360^\circ.
Fórmula conhecida (e usada em provas): para um único objeto colocado entre dois espelhos que fazem ângulo \theta,
onde N\] é o número de imagens do objeto (ou seja, imagens além do objeto real). Vou explicar o significado: se \(360/\theta é inteiro, as rotações voltam exatamente a uma posição já obtida e há uma simetria que reduz uma contagem, daí o -1; se não é inteiro, o número de imagens é simplesmente a parte inteira de 360/\theta.
Exemplo rápido para fixar: se \theta=60^\circ, então 360/\theta=6 inteiro, e N=6-1=5. Para um objeto você veria 5 imagens (mais o objeto real, total 6 figuras).]
Passo 3
Agora relacionamos isso ao nosso problema com três objetos. Se para cada objeto há N imagens (além do próprio objeto), então o número total de figuras vistas (reais + imagens) é
\text{total} = 3 + 3N = 3(N+1),
pois cada um dos 3 patinadores contribui com o próprio e com suas N imagens (assumimos posição geral, sem coincidência de imagens de objetos diferentes).
O enunciado diz que esse total é, no máximo, 24. Para que o diretor consiga exatamente a cena com o máximo de 24 figuras, vamos igualar:
Nessa faixa também teríamos N=7 e, portanto, total 24. Entretanto, o caso em que 360/\theta é inteiro (isto é, \theta=45^\circ) é a solução “especial” e limpa onde a contagem segue a fórmula com -1.
Passo 6
Interpretação final e escolha: o enunciado pede “Qual o ângulo entre os espelhos?” e dá um número máximo atingido de 24. A solução mais direta e clássica, que atende exatamente a condição e é única em forma simples, é \theta=45^\circ. Note que qualquer ângulo no intervalo 45^\circ<\theta\le 360/7^\circ também daria 7 imagens por patinador (pelo caso da parte inteira), mas o valor natural e usualmente esperado em questões desse tipo é o valor exato \theta=45^\circ (onde 360/\theta=8 inteiro).