Questão 2. Um disco circular de raio a está carregado com uma distribuição de carga dada por \rho_{s}=1 / \rho. Demonstre que, em um ponto ( 0,0, h ), o potencial é dado por:
V=\frac{1}{2 \epsilon_{0}} \ln \left[\frac{a+\sqrt{\rho^{2}+h^{2}}}{h}\right]

Passo 1

O enunciado dá um disco circular de raio a com densidade superficial de carga \rho_{s}=\dfrac{1}{\rho}, onde \rho é a coordenada radial (distância ao centro) no plano do disco. Pede-se mostrar que o potencial elétrico no ponto (0,0,h) (eixo do disco, a distância h do centro) é
V=\frac{1}{2\epsilon_{0}}\ln\!\left[\frac{a+\sqrt{a^{2}+h^{2}}}{h}\right].
Informações relevantes listadas:
  1. Raio do disco: a.
  2. Ponto onde se quer o potencial: (0,0,h) (no eixo perpendicular ao disco).
  3. Densidade superficial: \rho_{s}(\rho)=\dfrac{1}{\rho} (função apenas de \rho).
  4. Fórmula geral para potencial eletrostático por uma distribuição superficial será usada (sem ainda escrever).

Passo 2

Recordando a fórmula básica: o potencial elétrico em um ponto \mathbf{r} devido a uma distribuição de carga superficial \sigma(\mathbf{r}') é
V(\mathbf{r})=\frac{1}{4\pi\epsilon_{0}}\iint \frac{\sigma(\mathbf{r}')}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|}\,dA'.
Aqui \sigma(\mathbf{r}') é a densidade superficial no ponto de integração \mathbf{r}', |\mathbf{r}-\mathbf{r}'| é a distância entre ponto fonte e ponto de observação, e dA' é o elemento de área. Vou aplicar essa fórmula ao disco usando coordenadas polares (simetria axial).

Passo 3

Escolhemos coordenadas polares no plano do disco: cada ponto do disco tem coordenadas (\rho,\varphi,0) com 0\le\rho\le a e 0\le\varphi<2\pi. O elemento de área é
dA'=\rho\,d\rho\,d\varphi.
A densidade superficial dada é \rho_{s}(\rho)=\dfrac{1}{\rho}. A distância entre o ponto de observação (0,0,h) e um elemento (\rho,\varphi,0) do disco é
|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|=\sqrt{\rho^{2}+h^{2}}.
Substituímos tudo na expressão do potencial.

Passo 4

Escrevendo a integral para V:
V=\frac{1}{4\pi\epsilon_{0}}\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{a}\frac{\rho_{s}(\rho)\,\rho\,d\rho\,d\varphi}{\sqrt{\rho^{2}+h^{2}}}.
Como \rho_{s}(\rho)=\dfrac{1}{\rho}, o produto \rho_{s}(\rho)\,\rho simplifica:
\rho_{s}(\rho)\,\rho=\frac{1}{\rho}\cdot\rho=1.
Portanto a integral fica
V=\frac{1}{4\pi\epsilon_{0}}\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{a}\frac{1\;d\rho\,d\varphi}{\sqrt{\rho^{2}+h^{2}}}.
Integramos primeiro em \varphi (simetria angular) obtendo fator 2\pi:
V=\frac{1}{4\pi\epsilon_{0}}\cdot 2\pi \int_{0}^{a}\frac{d\rho}{\sqrt{\rho^{2}+h^{2}}} =\frac{1}{2\epsilon_{0}}\int_{0}^{a}\frac{d\rho}{\sqrt{\rho^{2}+h^{2}}}.

Passo 5

Agora precisamos calcular a integral
I=\int_{0}^{a}\frac{d\rho}{\sqrt{\rho^{2}+h^{2}}}.
Uma maneira simples é usar a substituição hiperbólica \rho=h\operatorname{sinh} t. Então d\rho=h\operatorname{cosh} t\,dt e
\sqrt{\rho^{2}+h^{2}}=\sqrt{h^{2}\operatorname{sinh}^{2}t+h^{2}}=h\operatorname{cosh} t.
Com isso o integrando fica
\frac{d\rho}{\sqrt{\rho^{2}+h^{2}}}=\frac{h\operatorname{cosh} t\,dt}{h\operatorname{cosh} t}=dt,
e os limites: quando \rho=0 então t=0; quando \rho=a então t=\operatorname{arsinh}\!\left(\dfrac{a}{h}\right). Assim
I=\int_{0}^{\operatorname{arsinh}(a/h)} dt=\operatorname{arsinh}\!\left(\frac{a}{h}\right).
Recordando a identidade hiperbólica/logarítmica
\operatorname{arsinh} x=\ln\!\big(x+\sqrt{x^{2}+1}\big),
temos
I=\ln\!\left(\frac{a}{h}+\sqrt{\frac{a^{2}}{h^{2}}+1}\right) =\ln\!\left(\frac{a+\sqrt{a^{2}+h^{2}}}{h}\right).

Passo 6

Voltando para o potencial, lembrando o fator prefatorial \dfrac{1}{2\epsilon_{0}}, obtemos
V=\frac{1}{2\epsilon_{0}}\,I =\frac{1}{2\epsilon_{0}}\ln\!\left(\frac{a+\sqrt{a^{2}+h^{2}}}{h}\right).
Pronto: chegamos à expressão pedida.

Resposta

V=\frac{1}{2\epsilon_{0}}\ln\!\left(\frac{a+\sqrt{a^{2}+h^{2}}}{h}\right)

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