Questão 2. Um disco circular de raio a está carregado com uma distribuição de carga dada por
. Demonstre que, em um ponto (
), o potencial é dado por:
Passo 1
O enunciado dá um disco circular de raio
com densidade superficial de carga
, onde
é a coordenada radial (distância ao centro) no plano do disco. Pede-se mostrar que o potencial elétrico no ponto
(eixo do disco, a distância
do centro) é
Informações relevantes listadas:
- Raio do disco:
. - Ponto onde se quer o potencial:
(no eixo perpendicular ao disco). - Densidade superficial:
(função apenas de ). - Fórmula geral para potencial eletrostático por uma distribuição superficial será usada (sem ainda escrever).
Passo 2
Recordando a fórmula básica: o potencial elétrico em um ponto
devido a uma distribuição de carga superficial
é
Aqui
é a densidade superficial no ponto de integração
,
é a distância entre ponto fonte e ponto de observação, e
é o elemento de área. Vou aplicar essa fórmula ao disco usando coordenadas polares (simetria axial).
Passo 3
Escolhemos coordenadas polares no plano do disco: cada ponto do disco tem coordenadas
com
e
. O elemento de área é
A densidade superficial dada é
. A distância entre o ponto de observação
e um elemento
do disco é
Substituímos tudo na expressão do potencial.
Passo 4
Escrevendo a integral para
:
Como
, o produto
simplifica:
Portanto a integral fica
Integramos primeiro em
(simetria angular) obtendo fator
:
Passo 5
Agora precisamos calcular a integral
Uma maneira simples é usar a substituição hiperbólica
. Então
e
Com isso o integrando fica
e os limites: quando
então
; quando
então
. Assim
Recordando a identidade hiperbólica/logarítmica
temos
Passo 6
Voltando para o potencial, lembrando o fator prefatorial
, obtemos
Pronto: chegamos à expressão pedida.