Três peças de tecido medem, respectivamente, 112 \mathrm{~m}, 96 \mathrm{~m} e 8 m . Desejando cortá-los em pedaços de mesmo comprimento, qual deverá ser o comprimento para que os retalhos tenham o maior tamanho possível e portanto, sejam cortados no menor número possível de partes?

Passo 1

O enunciado dá três comprimentos de tecido e pede que os cortemos em pedaços todos do mesmo comprimento, sendo esse comprimento o maior possível (para que o número de peças seja o menor possível). Os dados são:
  • primeiro tecido: 112\\ \mathrm{m},
  • segundo tecido: 96\\ \mathrm{m},
  • terceiro tecido: 8\\ \mathrm{m}.
A pergunta é: qual deve ser o comprimento de cada pedaço (um número em metros) de modo que todos os três tecidos possam ser cortados exatamente em pedaços desse comprimento e esse comprimento seja o maior possível?

Passo 2

Ideia-chave (explicada devagar e com exemplos): para cortar cada tecido em pedaços iguais sem sobra, o comprimento escolhido deve dividir exatamente cada um dos comprimentos dados. Ou seja, se chamarmos esse comprimento de d, precisamos de d tal que
112 \text{ é múltiplo de } d,\qquad 96 \text{ é múltiplo de } d,\qquad 8 \text{ é múltiplo de } d.éúéúéú
Em termos matemáticos, d deve ser um divisor comum de 112,\,96 e 8. Como queremos o maior possível, estamos procurando o máximo divisor comum (MDC, também chamado de GCD) desses três números.
Como encontrar o MDC de maneira prática e eficiente? Usamos o algoritmo de Euclides, que se baseia numa propriedade simples: se a e b são inteiros com a>b, então qualquer divisor comum de a e b também divide o resto r da divisão de a por b; assim \gcd(a,b)=\gcd(b,r). Repetindo esse passo (dividindo o maior pelo menor e substituindo) até o resto ser zero, o último divisor não nulo é o MDC. Não precisa decorar além disso — funciona com divisões por subtração disfarçada.

Passo 3

Aplicando o algoritmo de Euclides aos dois primeiros comprimentos 112 e 96:
Faço a divisão inteira de 112 por 96:
112 = 96\cdot 1 + 16.
O resto é 16. Pelo algoritmo, \gcd(112,96)=\gcd(96,16).
Agora divido 96 por 16:
96 = 16\cdot 6 + 0.
O resto é 0, então o MDC dos dois primeiros é o último divisor não nulo, que é 16. Assim
\gcd(112,96)=16.

Passo 4

Agora preciso do MDC de todos os três números. Já tenho \gcd(112,96)=16. Então o MDC dos três é \gcd(16,8). Faço a divisão:
16 = 8\cdot 2 + 0.
O resto é 0, portanto
\gcd(16,8)=8.

Passo 5

Interpretação final e verificação: o maior comprimento d que divide simultaneamente 112,\,96 e 8 é 8. Isso significa que é possível cortar cada tecido em pedaços de 8\\ \mathrm{m} sem sobrar nada. Para checar:
  • 112\div 8 = 14 pedaços,
  • 96\div 8 = 12 pedaços,
  • 8\div 8 = 1 pedaço.
Qualquer comprimento maior que 8 não pode dividir 8, logo não serviria para o terceiro tecido; portanto 8\\ \mathrm{m} é realmente o maior possível. Usar o MDC garante também o menor número total de pedaços, porque comprimentos menores produziriam mais pedaços.

Resposta

8\\ \mathrm{m}

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