Determine m d c(a, b) e x, y \in \mathbb{Z} tais que m d c(a, b)=x a+y b, nos seguintes casos:
a=28 e b=64.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas para a=28 e b=64:
  • Determinar m d c(a,b).
  • Encontrar inteiros x,y\in\mathbb{Z} tais que m d c(a,b)=x a+y b.
As informações dadas são:
  • a=28.
  • b=64.

Passo 2

O que é o m d c e como vamos achar: o m d c (máximo divisor comum) de dois inteiros é o maior inteiro positivo que divide ambos. Uma maneira prática de calcular é o Algoritmo de Euclides, que usa sucessivas divisões com resto até o resto ser zero. Vou aplicar isso a 64 e 28.
Realizamos divisões sucessivas (mostrando cada divisão na forma \text{dividendo} = \text{divisor}\cdot q + \text{resto}):
64 = 28\cdot 2 + 8
28 = 8\cdot 3 + 4
8 = 4\cdot 2 + 0
Quando o resto chega a 0, o último resto não nulo é o m d c. Aqui o último resto não nulo é 4. Portanto
m d c(28,64)=4.

Passo 3

Agora queremos escrever esse m d c como combinação linear de 28 e 64, ou seja achar x,y tais que 4 = x\cdot 28 + y\cdot 64. Para isso usamos o processo inverso (algoritmo extenso de Euclides), fazendo substituições a partir das linhas do Algoritmo de Euclides.
Da segunda divisão temos
4 = 28 - 8\cdot 3.
Da primeira divisão temos
8 = 64 - 28\cdot 2.
Substituímos a expressão de 8 na expressão de 4:
4 = 28 - 3\cdot(8) = 28 - 3\cdot\bigl(64 - 28\cdot 2\bigr).
Agora distribuímos e agrupamos termos em 28 e 64:
4 = 28 - 3\cdot 64 + 3\cdot 2\cdot 28 = 28 + 6\cdot 28 - 3\cdot 64.
4 = 7\cdot 28 - 3\cdot 64.
Portanto uma solução explícita é x=7 e y=-3, pois
4 = 7\cdot 28 + (-3)\cdot 64.

Passo 4

Verificação rápida (para me deixar mais confiante): calcule 7\cdot 28 + (-3)\cdot 64.
7\cdot 28 = 196,\qquad -3\cdot 64 = -192,\qquad 196-192=4,
confirmando que a combinação está correta.
Observação adicional (útil para prova): as soluções inteiras para x,y não são únicas. Se (x_0,y_0) é uma solução e d=m d c(a,b), então todas as soluções são dadas por
x = x_0 + k\cdot\frac{b}{d},\qquad y = y_0 - k\cdot\frac{a}{d},
para k\in\mathbb{Z}. No nosso caso \frac{b}{d}=\frac{64}{4}=16 e \frac{a}{d}=\frac{28}{4}=7.

Resposta

m d c(28,64)=4
x=7,\\ y=-3

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