Determine
e
tais que
, nos seguintes casos:
e
.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas para
e
:
- Determinar
. - Encontrar inteiros
tais que .
As informações dadas são:
-
. -
.
Passo 2
O que é o
e como vamos achar: o
(máximo divisor comum) de dois inteiros é o maior inteiro positivo que divide ambos. Uma maneira prática de calcular é o Algoritmo de Euclides, que usa sucessivas divisões com resto até o resto ser zero. Vou aplicar isso a
e
.
Realizamos divisões sucessivas (mostrando cada divisão na forma
):
Quando o resto chega a
, o último resto não nulo é o
. Aqui o último resto não nulo é
. Portanto
Passo 3
Agora queremos escrever esse
como combinação linear de
e
, ou seja achar
tais que
. Para isso usamos o processo inverso (algoritmo extenso de Euclides), fazendo substituições a partir das linhas do Algoritmo de Euclides.
Da segunda divisão temos
Da primeira divisão temos
Substituímos a expressão de
na expressão de
:
Agora distribuímos e agrupamos termos em
e
:
Portanto uma solução explícita é
e
, pois
Passo 4
Verificação rápida (para me deixar mais confiante): calcule
.
confirmando que a combinação está correta.
Observação adicional (útil para prova): as soluções inteiras para
não são únicas. Se
é uma solução e
, então todas as soluções são dadas por
para
. No nosso caso
e
.