Determine
e
tais que
, nos seguintes casos:
e
.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas para os números dados:
- Determinar
para e . - Encontrar inteiros
e tais que .
Informações fornecidas:
-
. -
.
Passo 2
O que vamos usar (explicação didática): uma maneira prática de calcular o
é aplicar a divisão sucessiva entre os números até obter resto zero. Esse processo baseia-se na propriedade: se
então
. Repetindo divisões, os restos diminuem e no último resto não nulo temos o
.
Vou fazer as divisões sucessivas entre
e
, mostrando cada passo da conta (sem pular etapas).
Passo 3
Primeira divisão: dividir
por
.
porque
e
. Então o resto é
. Portanto
Passo 4
Segunda divisão: dividir
por
.
pois
e
. Resto
. Assim
Passo 5
Terceira divisão: dividir
por
.
pois
e
. Resto
. Então
Passo 6
Quarta divisão: dividir
por
.
pois
e
. Resto
. Então
Passo 7
Quinta divisão: dividir
por
.
pois
e
. Resto
. Logo
Passo 8
Sexta divisão: dividir
por
.
Aqui o resto é
, então o último resto não nulo é
. Conclusão:
Passo 9
Agora a parte de achar
e
tais que
. Isso é a identidade de Bézout. Para obter
e
usamos as equações das divisões que já fizemos e voltamos substituindo (chama-se “algoritmo de Euclides estendido” ou, de uma forma prática, substituição regressiva). Vou fazer isso cuidadosamente, passo a passo, sem pular contas.
Listando as igualdades com os restos que encontramos:
A partir da última, isolamos o
:
Passo 10
Expressar
em termos dos restos anteriores usando (4): de (4) temos
. Substituindo em
,
Passo 11
Agora expressar
usando (3):
. Substituindo na expressão anterior,
Passo 12
Expressar
por (2):
. Substituindo em
,
Passo 13
Finalmente expressar
por (1):
. Substituindo em
,
Portanto obtivemos a expressão de Bézout com coeficientes inteiros:
Passo 14
Checagem rápida: calcular
e
para confirmar que somam
.
Está correto.