Determine m d c(a, b) e x, y \in \mathbb{Z} tais que m d c(a, b)=x a+y b, nos seguintes casos:
a=156 e b = 37.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas para os números dados:
  • Determinar m d c(a,b) para a=156 e b=37.
  • Encontrar inteiros x e y tais que m d c(a,b)=x a+y b.
Informações fornecidas:
  • a=156.
  • b=37.

Passo 2

O que vamos usar (explicação didática): uma maneira prática de calcular o m d c é aplicar a divisão sucessiva entre os números até obter resto zero. Esse processo baseia-se na propriedade: se
r=a-qb,
então m d c(a,b)=m d c(b,r). Repetindo divisões, os restos diminuem e no último resto não nulo temos o m d c.
Vou fazer as divisões sucessivas entre 156 e 37, mostrando cada passo da conta (sem pular etapas).

Passo 3

Primeira divisão: dividir 156 por 37.
156 = 4\cdot 37 + 8,
porque 4\cdot 37 = 148 e 156-148=8. Então o resto é 8. Portanto
m d c(156,37)=m d c(37,8).

Passo 4

Segunda divisão: dividir 37 por 8.
37 = 4\cdot 8 + 5,
pois 4\cdot 8=32 e 37-32=5. Resto 5. Assim
m d c(37,8)=m d c(8,5).

Passo 5

Terceira divisão: dividir 8 por 5.
8 = 1\cdot 5 + 3,
pois 1\cdot 5=5 e 8-5=3. Resto 3. Então
m d c(8,5)=m d c(5,3).

Passo 6

Quarta divisão: dividir 5 por 3.
5 = 1\cdot 3 + 2,
pois 1\cdot 3=3 e 5-3=2. Resto 2. Então
m d c(5,3)=m d c(3,2).

Passo 7

Quinta divisão: dividir 3 por 2.
3 = 1\cdot 2 + 1,
pois 1\cdot 2=2 e 3-2=1. Resto 1. Logo
m d c(3,2)=m d c(2,1).

Passo 8

Sexta divisão: dividir 2 por 1.
2 = 2\cdot 1 + 0.
Aqui o resto é 0, então o último resto não nulo é 1. Conclusão:
m d c(156,37)=1.

Passo 9

Agora a parte de achar x e y tais que 1 = x\cdot 156 + y\cdot 37. Isso é a identidade de Bézout. Para obter x e y usamos as equações das divisões que já fizemos e voltamos substituindo (chama-se “algoritmo de Euclides estendido” ou, de uma forma prática, substituição regressiva). Vou fazer isso cuidadosamente, passo a passo, sem pular contas.
Listando as igualdades com os restos que encontramos:
\begin{aligned} (1)\;& 156 &= 4\cdot 37 + 8,\\\ (2)\;& 37 &= 4\cdot 8 + 5,\\\ (3)\;& 8 &= 1\cdot 5 + 3,\\\ (4)\;& 5 &= 1\cdot 3 + 2,\\\ (5)\;& 3 &= 1\cdot 2 + 1. \end{aligned}
A partir da última, isolamos o 1:
1 = 3 - 1\cdot 2.

Passo 10

Expressar 2 em termos dos restos anteriores usando (4): de (4) temos 2 = 5 - 1\cdot 3. Substituindo em 1 = 3 - 1\cdot 2,
\begin{aligned} 1 &= 3 - 1\cdot(5 - 1\cdot 3)\\\ &= 3 - 1\cdot 5 + 1\cdot 3\\\ &= 2\cdot 3 - 1\cdot 5. \end{aligned}

Passo 11

Agora expressar 3 usando (3): 3 = 8 - 1\cdot 5. Substituindo na expressão anterior,
\begin{aligned} 1 &= 2\cdot(8 - 1\cdot 5) - 1\cdot 5\\\ &= 2\cdot 8 - 2\cdot 5 - 1\cdot 5\\\ &= 2\cdot 8 - 3\cdot 5. \end{aligned}

Passo 12

Expressar 5 por (2): 5 = 37 - 4\cdot 8. Substituindo em 1 = 2\cdot 8 - 3\cdot 5,
\begin{aligned} 1 &= 2\cdot 8 - 3\cdot(37 - 4\cdot 8)\\\ &= 2\cdot 8 - 3\cdot 37 + 12\cdot 8\\\ &= (2+12)\cdot 8 - 3\cdot 37\\\ &= 14\cdot 8 - 3\cdot 37. \end{aligned}

Passo 13

Finalmente expressar 8 por (1): 8 = 156 - 4\cdot 37. Substituindo em 1 = 14\cdot 8 - 3\cdot 37,
\begin{aligned} 1 &= 14\cdot(156 - 4\cdot 37) - 3\cdot 37\\\ &= 14\cdot 156 - 56\cdot 37 - 3\cdot 37\\\ &= 14\cdot 156 - 59\cdot 37. \end{aligned}
Portanto obtivemos a expressão de Bézout com coeficientes inteiros:
1 = 14\cdot 156 + (-59)\cdot 37.

Passo 14

Checagem rápida: calcular 14\cdot 156 e -59\cdot 37 para confirmar que somam 1.
14\cdot 156 = 2184,\qquad -59\cdot 37 = -2183,\qquad 2184-2183=1.
Está correto.

Resposta

m d c(156,37)=1
x=14,\\ y=-59

Exercícios relacionados