Três polarizadores (P1, P2 e P3) estão alinhados. O eixo de P1 é vertical. O eixo de P3 é horizontal. O eixo de P 2 está a 45^{\circ} em relação ao eixo de P 1 . Se luz não polarizada de intensidade I_{0} incide em P1, qual a intensidade da luz emergente de P3?

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados e pede uma coisa clara.
  • Dados:
    • Três polarizadores em sequência: P_1, P_2 e P_3.
    • O eixo de P_1 é vertical.
    • O eixo de P_2 está a 45^\circ em relação ao eixo de P_1.
    • O eixo de P_3 é horizontal (ou seja, a 90^\circ do eixo de P_1).
    • Luz não polarizada de intensidade inicial I_0 incide em P_1.
  • Pergunta:
    • Qual a intensidade da luz que emerge de P_3? (Expressar a intensidade final em função de I_0.)

Passo 2

Entender o efeito de um polarizador numa luz não polarizada: quando luz não polarizada passa por um polarizador ideal, a intensidade transmitida vale metade da intensidade incidente. Em símbolo:
I_{\text{após polarizador}}=\frac{1}{2}I_{\text{incidente}}.ó
Explicação didática: luz não polarizada tem todas as direções de polarização igualmente prováveis. Um polarizador seleciona apenas a componente da onda elétrica ao longo do seu eixo; a média de \cos^2\varphi sobre todas as direções \varphi é 1/2, então a média da intensidade transmitida é metade. (Formalmente \langle\cos^2\varphi\rangle=\dfrac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}\cos^2\varphi\,d\varphi=\dfrac{1}{2}.)

Passo 3

Aplicando isso a P_1: a luz não polarizada de intensidade I_0 que incide em P_1 sai de P_1 polarizada ao longo do eixo de P_1 (vertical) com intensidade
I_1=\frac{1}{2}I_0.

Passo 4

Agora introduzimos a lei de Malus para luz já polarizada: se luz polarizada de intensidade I_{\text{in}} incide num polarizador cujo eixo forma um ângulo \theta com a direção de polarização da luz, a intensidade transmitida é
I_{\text{out}}=I_{\text{in}}\cos^2\theta.
Explicação didática: a componente do campo elétrico ao longo do eixo do polarizador é E\cos\theta, e a intensidade é proporcional ao quadrado do campo, daí o \cos^2\theta. Aqui:
  • I_{\text{in}} é a intensidade antes do polarizador;
  • \theta é o ângulo entre a polarização do feixe e o eixo do polarizador;
  • I_{\text{out}} é a intensidade transmitida.

Passo 5

Aplicar Malus de P_1 para P_2: a luz após P_1 está polarizada verticalmente. O eixo de P_2 está a \theta=45^\circ dessa direção. Portanto
I_2 = I_1\cos^2 45^\circ.
Sabendo que \cos 45^\circ=\dfrac{\sqrt{2}}{2} e portanto \cos^2 45^\circ=\dfrac{1}{2}, e usando I_1=\dfrac{1}{2}I_0, obtemos
I_2=\frac{1}{2}I_0\cdot\frac{1}{2}=\frac{1}{4}I_0.

Passo 6

Aplicar Malus de P_2 para P_3: agora a luz que atinge P_3 está polarizada ao longo do eixo de P_2 (ou seja, a 45^\circ do vertical). O eixo de P_3 é horizontal, que é 90^\circ do vertical. Logo o ângulo entre P_2 e P_3 é
\theta'=90^\circ-45^\circ=45^\circ.
Aplico Malus novamente:
I_3 = I_2\cos^2 45^\circ = \frac{1}{4}I_0\cdot\frac{1}{2}=\frac{1}{8}I_0.

Passo 7

Interpretação curta e incentivo: o segundo polarizador inclinado em 45^\circ “reconecta” parcialmente a luz entre os eixos vertical e horizontal, por isso alguma luz chega ao polarizador final mesmo sendo os eixos 90^\circ entre si. Bom trabalho — esse é um padrão clássico em provas!

Resposta

\dfrac{I_{0}}{8}

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