O Ângulo de Brewster, \theta_{p}, é o ângulo de incidência para o qual a luz refletida na interface entre dois meios dielétricos é totalmente polarizada linearmente. Se a luz incide do ar ( n_{\text {ar }} \approx 1,00 ) em um bloco de vidro com índice de refração n=1,50, qual é o Ângulo de Brewster, \theta_{p} ?

Passo 1

O enunciado pede para calcular o Ângulo de Brewster \theta_{p} quando a luz incide do ar sobre um vidro. Informações dadas:
  • índice de refração do ar: n_{\text{ar}} \approx 1{,}00 (vou chamar de n_{1});
  • índice de refração do vidro: n = 1{,}50 (vou chamar de n_{2});
  • pergunta: qual é o Ângulo de Brewster \theta_{p} (ângulo de incidência medido no ar).

Passo 2

O que é o Ângulo de Brewster e por que existe uma fórmula simples para ele (explicação didática).
  • O Ângulo de Brewster é o ângulo de incidência para o qual a luz refletida fica totalmente polarizada linearmente (ou seja, a componente da luz com polarização no plano de incidência é cancelada na reflexão).
  • Uma forma muito prática de obter a condição é usar duas ideias bem simples:
    1. Lei de Snell (refração): n_{1}\sin\theta_{1} = n_{2}\sin\theta_{2}. Aqui \theta_{1} é o ângulo de incidência (no ar) e \theta_{2} é o ângulo de refração (no vidro).
    2. A condição geométrica do Ângulo de Brewster: quando ocorre polarização completa do reflexo, o raio refletido e o raio refratado ficam perpendiculares entre si. Em símbolos: \theta_{1} + \theta_{2} = 90^\circ (isso vem da análise das equações de Fresnel; não é necessário decorar Fresnel para usar a condição).
  • A partir dessas duas ideias dá para derivar a fórmula do Ângulo de Brewster.

Passo 3

Derivação passo a passo da fórmula (sem pular etapas).
  • Chame \theta_{1} = \theta_{p} (o que queremos) e \theta_{2} = \theta_{t} (ângulo transmitido/refratado).
  • A condição geométrica é \theta_{p} + \theta_{t} = 90^\circ. Então \sin\theta_{t} = \cos\theta_{p}.
  • A lei de Snell dá n_{1}\sin\theta_{p} = n_{2}\sin\theta_{t}.
  • Substituindo \sin\theta_{t} = \cos\theta_{p} na equação acima: n_{1}\sin\theta_{p} = n_{2}\cos\theta_{p}.
  • Dividindo ambos os lados por \cos\theta_{p} (e assumindo \cos\theta_{p}\neq 0, o que é verdade para ângulos menores que 90^\circ): n_{1}\tan\theta_{p} = n_{2}.
  • Isolando \theta_{p}: \tan\theta_{p} = \frac{n_{2}}{n_{1}}, \qquad \theta_{p} = \arctan\!\left(\frac{n_{2}}{n_{1}}\right).
  • Aqui cada variável significa:
    • n_{1}: índice do meio de onde a luz vem (ar);
    • n_{2}: índice do meio para o qual a luz entra (vidro);
    • \theta_{p}: ângulo de incidência (medido no meio 1) que torna a luz refletida totalmente polarizada.

Passo 4

Aplicando a fórmula aos números dados.
  • Substituindo n_{1}=1{,}00 e n_{2}=1{,}50 na expressão: \tan\theta_{p} = \frac{1{,}50}{1{,}00} = 1{,}50.
  • Logo \theta_{p} = \arctan(1{,}50).

Passo 5

Como obter numericamente \theta_{p} sem muita sofisticação (uma forma simples de estimar à mão).
  • Sabendo alguns tangentes aproximados: \tan 45^\circ = 1{,}00 e \tan 60^\circ = \sqrt{3}\approx 1{,}732. Como 1{,}50 fica entre esses valores, \theta_{p} está entre 45^\circ e 60^\circ.
  • Para uma estimação linear rápida entre 56^\circ e 57^\circ: \tan 56^\circ \approx 1{,}483 e \tan 57^\circ \approx 1{,}539. O valor 1{,}50 fica bem perto de \tan 56^\circ, portanto \theta_{p}\approx 56{,}3^\circ.
  • Se puder usar calculadora, \arctan(1{,}50) \approx 56{,}3099^\circ, que arredondamos para duas casas decimais como 56{,}31^\circ.

Passo 6

Interpretação física curta e motivadora (estímulo).
  • Isso significa que, se incidir luz do ar sobre o vidro com ângulo de cerca de 56^\circ, a luz refletida estará praticamente toda polarizada perpendicularmente ao plano de incidência (útil em fotografia, óculos polarizados, etc.). Você já consegue reconhecer o resultado e a fórmula na prova — memorize \tan\theta_{p} = n_{2}/n_{1} e pratique um ou dois exemplos rápidos.

Resposta

56{,}31^\circ

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