Q62. \int \frac{x^{4}+1}{x^{3}-2 x^{2}+x} d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral
\int \frac{x^{4}+1}{x^{3}-2x^{2}+x}\,dx.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • O numerador é \,x^{4}+1\, e o denominador é \,x^{3}-2x^{2}+x.
  • O denominador pode ser fatorado como
x^{3}-2x^{2}+x = x(x-1)^{2}.
  • A tarefa é encontrar uma primitiva (antiderivada) dessa função racional, incluindo a constante de integração C.

Passo 2

Primeira observação prática (útil na prova): o grau do numerador ( 4) é maior ou igual ao grau do denominador ( 3). Nesses casos fazemos divisão polinomial antes de tentar decompor em frações parciais — isso transforma a integral numa soma de um polinômio (fácil de integrar) e de uma fração própria (grau do numerador menor que o do denominador), que será tratada por frações parciais.
Vou fazer a divisão de
\frac{x^{4}+1}{x^{3}-2x^{2}+x}.

Passo 3

Divisão polinomial passo a passo:
  • Dividindo x^{4} por x^{3} obtemos x. Multiplicando o denominador por x:
x\cdot\bigl(x^{3}-2x^{2}+x\bigr)=x^{4}-2x^{3}+x^{2}.
  • Subtraindo do numerador:
(x^{4}+0x^{3}+0x^{2}+0x+1)-(x^{4}-2x^{3}+x^{2})=2x^{3}-x^{2}+0x+1.
  • Agora dividindo 2x^{3} por x^{3} obtemos +2. Multiplicando o denominador por 2:
2\cdot\bigl(x^{3}-2x^{2}+x\bigr)=2x^{3}-4x^{2}+2x.
  • Subtraindo:
(2x^{3}-x^{2}+0x+1)-(2x^{3}-4x^{2}+2x)=3x^{2}-2x+1.
Agora o resto 3x^{2}-2x+1 tem grau 2, menor que o grau do denominador ( 3), então a divisão terminou.
Portanto
\frac{x^{4}+1}{x^{3}-2x^{2}+x}=x+2+\frac{3x^{2}-2x+1}{x(x-1)^{2}}.

Passo 4

Agora tratamos a fração própria
\frac{3x^{2}-2x+1}{x(x-1)^{2}}.
Como o denominador tem fatores lineares x e (x-1) com multiplicidade 2, a decomposição em frações parciais tem a forma
\frac{3x^{2}-2x+1}{x(x-1)^{2}}=\frac{A}{x}+\frac{B}{x-1}+\frac{C}{(x-1)^{2}},
onde A,B,C são constantes a determinar.
Multiplicando ambos os lados por x(x-1)^{2} obtemos a identidade polinomial
3x^{2}-2x+1 = A(x-1)^{2} + Bx(x-1) + Cx.
Explicando a técnica: igualamos coeficientes porque a identidade vale para todo x.

Passo 5

Expandindo o lado direito:
A(x-1)^{2}=A(x^{2}-2x+1)=Ax^{2}-2Ax+A,
Bx(x-1)=B(x^{2}-x)=Bx^{2}-Bx,
Cx=Cx.
Somando,
A(x-1)^{2}+Bx(x-1)+Cx = (A+B)x^{2}+(-2A-B+C)x + A.
Comparando coeficientes com o polinômio do lado esquerdo 3x^{2}-2x+1\), obtemos o sistema: \[\begin{cases} A+B = 3,\\[4pt] -2A - B + C = -2,\\[4pt] A = 1. \end{cases}
Da terceira equação segue A=1\]. Substituindo em \(A+B=3 temos B=2. Substituindo A=1 e B=2 na segunda equação:
-2(1)-2 + C = -2 \quad\Rightarrow\quad -4 + C = -2 \quad\Rightarrow\quad C=2.
Logo A=1, B=2, C=2 e
\frac{3x^{2}-2x+1}{x(x-1)^{2}}=\frac{1}{x}+\frac{2}{x-1}+\frac{2}{(x-1)^{2}}.]

Passo 6

Agora escrevemos a integral como soma de partes fáceis:
\int \frac{x^{4}+1}{x^{3}-2x^{2}+x}\,dx = \int\bigl(x+2\bigr)\,dx + \int\frac{1}{x}\,dx + 2\int\frac{1}{x-1}\,dx + 2\int\frac{1}{(x-1)^{2}}\,dx.
Integramos termo a termo, lembrando algumas antiderivadas padrão:
  • \displaystyle \int x\,dx=\frac{x^{2}}{2}.
  • \displaystyle \int 2\,dx=2x.
  • \displaystyle \int \frac{1}{x}\,dx=\ln|x|.
  • \displaystyle \int \frac{1}{x-1}\,dx=\ln|x-1| (troca de variável u=x-1 ou regra da cadeia).
  • \displaystyle \int \frac{1}{(x-1)^{2}}\,dx=\int (x-1)^{-2}\,dx=-(x-1)^{-1}=-\frac{1}{x-1}.
Aplicando essas antiderivadas:
\int\bigl(x+2\bigr)\,dx=\frac{x^{2}}{2}+2x,
\int\frac{1}{x}\,dx=\ln|x|,
2\int\frac{1}{x-1}\,dx=2\ln|x-1|,
2\int\frac{1}{(x-1)^{2}}\,dx=2\left(-\frac{1}{x-1}\right)=-\frac{2}{x-1}.
Somando tudo e adicionando a constante de integração C, obtemos a primitiva final.

Resposta

\displaystyle \frac{x^{2}}{2}+2x+\ln|x|+2\ln|x-1|-\frac{2}{x-1}+C

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