Q62.
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- O numerador é
e o denominador é . - O denominador pode ser fatorado como
- A tarefa é encontrar uma primitiva (antiderivada) dessa função racional, incluindo a constante de integração
.
Passo 2
Primeira observação prática (útil na prova): o grau do numerador (
) é maior ou igual ao grau do denominador (
). Nesses casos fazemos divisão polinomial antes de tentar decompor em frações parciais — isso transforma a integral numa soma de um polinômio (fácil de integrar) e de uma fração própria (grau do numerador menor que o do denominador), que será tratada por frações parciais.
Vou fazer a divisão de
Passo 3
Divisão polinomial passo a passo:
- Dividindo
por obtemos . Multiplicando o denominador por :
- Subtraindo do numerador:
- Agora dividindo
por obtemos . Multiplicando o denominador por :
- Subtraindo:
Agora o resto
tem grau
, menor que o grau do denominador (
), então a divisão terminou.
Portanto
Passo 4
Agora tratamos a fração própria
Como o denominador tem fatores lineares
e
com multiplicidade
, a decomposição em frações parciais tem a forma
onde
são constantes a determinar.
Multiplicando ambos os lados por
obtemos a identidade polinomial
Explicando a técnica: igualamos coeficientes porque a identidade vale para todo
.
Passo 5
Expandindo o lado direito:
Somando,
Comparando coeficientes com o polinômio do lado esquerdo
Da terceira equação segue
temos
. Substituindo
e
na segunda equação:
Logo
,
,
e
Passo 6
Agora escrevemos a integral como soma de partes fáceis:
Integramos termo a termo, lembrando algumas antiderivadas padrão:
-
-
-
. -
(troca de variável ou regra da cadeia). -
.
Aplicando essas antiderivadas:
Somando tudo e adicionando a constante de integração
, obtemos a primitiva final.