1. Três resistores R1, R2 e R3 são conectados em série a uma fonte de 120 V . A queda de tensão sobre R1 e R2 é 90 V , e a queda de tensão sobre R2 e R3 é 80 V . Se a resistência total é 12 \Omega, qual é a resistência de cada resistor?

Passo 1

O problema dá três resistores R_1, R_2 e R_3 ligados em série a uma fonte de tensão de 120\\ \text{V}. As informações fornecidas são:
V_1+V_2=90\\ \text{V}
V_2+V_3=80\\ \text{V}
A resistência total é
R_{\text{total}}=12\\ \Omega.
O que o enunciado pede: determinar os valores de R_1, R_2 e R_3. (Aqui V_1,V_2,V_3 são as quedas de tensão em R_1,R_2,R_3, respectivamente.)

Passo 2

Conceitos fundamentais que vamos usar (explicando devagar e com carinho):
  • Em circuito em série a corrente é a mesma em todos os resistores. Vou chamar essa corrente de I.
  • Lei de Ohm: para qualquer resistor com resistência R e corrente I, a tensão em seus terminais é dada por
V = I\cdot R,
onde V é a queda de tensão (volts), I é a corrente (ampères) e R é a resistência (ohms).
  • A resistência total em série é a soma das resistências:
R_{\text{total}} = R_1 + R_2 + R_3.
  • A tensão total da fonte se distribui entre os resistores:
V_{\text{total}} = V_1 + V_2 + V_3.
No nosso problema temos V_{\text{total}}=120\\ \text{V} e R_{\text{total}}=12\\ \Omega. As duas equações dadas relacionam as somas das tensões.

Passo 3

Vamos trabalhar com as equações das tensões. Já temos:
V_1+V_2=90
V_2+V_3=80
e também, porque a fonte é 120\\ \text{V},
V_1+V_2+V_3=120.
Primeiro vamos encontrar V_2. Some as duas primeiras equações:
(V_1+V_2)+(V_2+V_3)=90+80.
Isso dá
V_1+2V_2+V_3=170.

Passo 4

Subtraindo a equação total (V_1+V_2+V_3=120) da equação obtida em

Passo 5

(V_1+2V_2+V_3) - (V_1+V_2+V_3) = 170-120.
O lado esquerdo simplifica para V_2, então
V_2 = 50\\ \text{V}.

Passo 6

Com V_2 encontrado, encontramos V_1 e V_3 diretamente das equações iniciais:
V_1 = 90 - V_2 = 90 - 50 = 40\\ \text{V},
V_3 = 80 - V_2 = 80 - 50 = 30\\ \text{V}.
Cheque rápido: V_1+V_2+V_3 = 40+50+30 = 120\\ \text{V}, confere com a fonte.

Passo 7

Agora usamos a Lei de Ohm para transformar quedas de tensão em resistências. Primeiro a corrente total do circuito, que é a mesma em todos os resistores, é
I = \frac{V_{\text{total}}}{R_{\text{total}}} = \frac{120}{12} = 10\\ \text{A}.
Explicando: essa fórmula vem de reorganizar V=IR para I=V/R; aqui usamos a tensão total e a resistência total.

Passo 8

Calcule cada resistência com R = V/I:
R_1 = \frac{V_1}{I} = \frac{40}{10} = 4\\ \Omega,
R_2 = \frac{V_2}{I} = \frac{50}{10} = 5\\ \Omega,
R_3 = \frac{V_3}{I} = \frac{30}{10} = 3\\ \Omega.
Verificação rápida: R_1+R_2+R_3 = 4+5+3 = 12\\ \Omega, que é a resistência total dada — está tudo consistente.

Resposta

\,R_1 = 4\\ \Omega\n \,R_2 = 5\\ \Omega\n \,R_3 = 3\\ \Omega

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