Dada a densidade de fluxo elétrico
, no espaço livre:
Calcule a carga total dentro da esfera
;
Calcule a carga total dentro da esfera
Passo 1
O enunciado dá a densidade de fluxo elétrico e pede a carga total dentro da esfera de raio
. Informações fornecidas:
- A densidade de fluxo é
. - Queremos a carga total contida no interior da esfera de raio
(presume-se o sistema de coordenadas esféricas, origem no centro da esfera).
Nada mais é pedido.
Passo 2
Ideia geral (explicação didática das fórmulas que vamos usar):
- A Lei de Gauss no material livre relaciona
com a densidade volumétrica de carga livre por
Aqui
é a divergência de
, que dá a carga por unidade de volume (unidade:
quando
está em
).
- A carga total contida dentro de um volume
é
- Como
é puramente radial e depende somente de , há simetria esférica: fica muito simples usar a integral de superfície na esfera (Lei de Gauss em forma integral):
onde para superfície esférica de raio
temos
.
Vou usar a integral de superfície porque com a integral reduz-se a uma integral angular simples.
Vou usar a integral de superfície porque com
Passo 3
Calculemos o valor de
na superfície de raio
:
- Primeiro a componente radial:
- Em
:
Passo 4
Montamos a integral de superfície para
. Em coordenadas esféricas, para uma esfera de raio
,
Aqui explico cada termo:
-
é constante na superfície (já calculado). -
é a área elemental da esfera de raio (a área de um pequeno retângulo em projetado sobre a esfera). - Os limites
e cobrem toda a esfera.
Passo 5
Avaliação da integral passo a passo:
- Multiplicamos as constantes
e :
Portanto a integral fica
- Integramos em
:
- Integramos em
:
- Multiplicando tudo:
Passo 6
Conversão para coulombs e valor numérico:
- Lembrando que
, temos
- Valor numérico aproximado (usando
):
Passo 7
Verificação alternativa (opcional, mostra outra abordagem didática):
- Podemos também obter
por . Para campo radial dependente só de ,
- Aqui
. Derivando:
portanto
- Integrando
no volume ( ) de a e ângulos completos dá exatamente o mesmo resultado que calculámos anteriormente, confirmando a resposta.