Dada a densidade de fluxo elétrico boldsymbol{D}=0,3 r^{2} \boldsymbol{a}_{r} \mathrm{nC} / \mathrm{m}^{2}, no espaço livre:
Calcule a carga total dentro da esfera \mathrm{r}=3;

Passo 1

O enunciado dá a densidade de fluxo elétrico e pede a carga total dentro da esfera de raio \mathrm{r}=3. Informações fornecidas:
  • A densidade de fluxo é \mathbf{D}=0,3\, r^{2}\,\mathbf{a}_{r}\\ \mathrm{nC/m}^{2}.
  • Queremos a carga total contida no interior da esfera de raio \mathrm{r}=3 (presume-se o sistema de coordenadas esféricas, origem no centro da esfera).
    Nada mais é pedido.

Passo 2

Ideia geral (explicação didática das fórmulas que vamos usar):
  • A Lei de Gauss no material livre relaciona \mathbf{D} com a densidade volumétrica de carga livre \rho_v por
\nabla\cdot\mathbf{D}=\rho_v.
Aqui \nabla\cdot\mathbf{D} é a divergência de \mathbf{D}, que dá a carga por unidade de volume (unidade: \mathrm{nC/m}^3 quando \mathbf{D} está em \mathrm{nC/m}^2).
  • A carga total contida dentro de um volume V é
Q=\int_{V}\rho_v\,\mathrm{d}V.
  • Como \mathbf{D} é puramente radial e depende somente de r, há simetria esférica: fica muito simples usar a integral de superfície na esfera (Lei de Gauss em forma integral):
Q=\oint_{S}\mathbf{D}\cdot\mathrm{d}\mathbf{S},
onde para superfície esférica de raio r temos \mathrm{d}\mathbf{S}=r^{2}\sin\theta\,\mathrm{d}\theta\,\mathrm{d}\varphi\\ \mathbf{a}_{r}.
Vou usar a integral de superfície porque com \mathbf{D}=D_{r}(r)\mathbf{a}_{r} a integral reduz-se a uma integral angular simples.

Passo 3

Calculemos o valor de \mathbf{D} na superfície de raio \mathrm{r}=3:
  • Primeiro a componente radial:
D_{r}(r)=0,3\,r^{2}\\ \text{(em nC/m}^{2}\text{)}.
  • Em r=3:
D_{r}(3)=0,3\cdot 3^{2}=0,3\cdot 9=2,7\\ \text{nC/m}^{2}.

Passo 4

Montamos a integral de superfície para Q. Em coordenadas esféricas, para uma esfera de raio r=3,
Q=\oint_{S}\mathbf{D}\cdot\mathrm{d}\mathbf{S}=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\pi} D_{r}(3)\, \big(r^{2}\sin\theta\big)\,\mathrm{d}\theta\,\mathrm{d}\varphi.
Aqui explico cada termo:
  • D_{r}(3) é constante na superfície (já calculado).
  • r^{2}\sin\theta\,\mathrm{d}\theta\,\mathrm{d}\varphi é a área elemental da esfera de raio r (a área de um pequeno retângulo em \theta,\varphi projetado sobre a esfera).
  • Os limites \theta\in[0,\pi] e \varphi\in[0,2\pi] cobrem toda a esfera.

Passo 5

Avaliação da integral passo a passo:
  • Multiplicamos as constantes D_{r}(3) e r^{2}:
D_{r}(3)\cdot r^{2}=2,7\cdot 3^{2}=2,7\cdot 9=24,3\\ \text{(unidade: nC)}.
Portanto a integral fica
Q=24,3\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\pi}\sin\theta\,\mathrm{d}\theta\,\mathrm{d}\varphi.
  • Integramos em \theta:
\int_{0}^{\pi}\sin\theta\,\mathrm{d}\theta=[- \cos\theta]_{0}^{\pi}= -\cos\pi + \cos 0 = -(-1)+1 = 2.
  • Integramos em \varphi:
\int_{0}^{2\pi}\mathrm{d}\varphi = 2\pi.
  • Multiplicando tudo:
Q = 24,3 \cdot 2 \cdot 2\pi = 24,3\cdot 4\pi = 97,2\pi\\ \text{nC}.

Passo 6

Conversão para coulombs e valor numérico:
  • Lembrando que 1\\ \mathrm{nC}=10^{-9}\\ \mathrm{C}, temos
Q = 97,2\pi\times 10^{-9}\\ \mathrm{C}.
  • Valor numérico aproximado (usando \pi\approx 3,1416):
Q \approx 97,2\cdot 3,1416\times 10^{-9}\\ \mathrm{C} \approx 305,3\times 10^{-9}\\ \mathrm{C}=3,053\times 10^{-7}\\ \mathrm{C}.

Passo 7

Verificação alternativa (opcional, mostra outra abordagem didática):
  • Podemos também obter \rho_v por \rho_v=\nabla\cdot\mathbf{D}. Para campo radial dependente só de r,
\nabla\cdot\mathbf{D}=\frac{1}{r^{2}}\frac{\partial}{\partial r}\big(r^{2}D_{r}(r)\big).
  • Aqui r^{2}D_{r}=r^{2}\cdot 0,3r^{2}=0,3r^{4}. Derivando:
\frac{\partial}{\partial r}(0,3r^{4})=1,2r^{3},
portanto
\rho_v=\frac{1,2r^{3}}{r^{2}}=1,2r\\ \text{(nC/m}^{3}\text{)}.
  • Integrando \rho_v no volume ( \mathrm{d}V=r^{2}\sin\theta\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta\,\mathrm{d}\varphi) de r=0 a 3 e ângulos completos dá exatamente o mesmo resultado que calculámos anteriormente, confirmando a resposta.

Resposta

Q=97,2\pi\\ \mathrm{nC}=97,2\pi\times 10^{-9}\\ \mathrm{C}\approx 3,053\times 10^{-7}\\ \mathrm{C}

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