Dada a densidade de fluxo elétrico
, no espaço livre:
Calcule
no ponto
Calcule
Passo 1
O enunciado dá a densidade de fluxo elétrico e pede o campo elétrico no ponto indicado. Informações dadas:
Ponto pedido:
O meio é o espaço livre (vácuo). Não inicio a resolução ainda, apenas organizei os dados acima.
Passo 2
Relação física que vamos usar (aula curta): em meios lineares isotrópicos homogêneos, a densidade de fluxo elétrico e o campo elétrico estão relacionados por
onde
é a permissividade do meio. No espaço livre temos
(constante do vácuo). Logo, para achar
basta inverter:
Aqui
é a constante do vácuo,
. Essa fórmula significa: cada componente de
é dividida por
para obter a componente correspondente de
.
Passo 3
Vou avaliar
no ponto
e converter unidades de nC/m² para C/m² (a unidade padrão para usar com
). Primeiro o valor radial de
em
:
Converter nC para C:
Passo 4
Agora calculo o módulo radial de
usando
. Como
é puramente radial,
Faço a conta passo a passo:
Portanto o módulo radial é aproximadamente
(obs.:
, unidade do campo elétrico.)
Passo 5
Direção do campo: como
é na direção radial
, o campo também será radial:
Agora preciso escrever
em componentes cartesianos para dar a resposta no sistema usual. A relação entre o versor radial e os versores cartesianos é (fórmula padrão de coordenadas esféricas):
Aqui
é o ângulo polar (medido a partir do eixo
) e
é o ângulo azimutal (no plano
). Essa fórmula vem da definição geométrica das coordenadas esféricas — se você nunca decorou, pense que a projeção no plano
tem magnitude
e se divide entre
e
com
e
.
Passo 6
Substituo os ângulos do ponto
, com
e
. Primeiro os valores trigonométricos aproximados:
Assim
Passo 7
Multiplico o módulo
pelas componentes do versor radial para obter as componentes do campo elétrico:
Portanto, em forma vetorial:
ou em componentes cartesianas