Dada a densidade de fluxo elétrico boldsymbol{D}=0,3 r^{2} \boldsymbol{a}_{r} \mathrm{nC} / \mathrm{m}^{2}, no espaço livre:
Calcule \mathbf{E} no ponto \mathrm{P}\left(\mathrm{r}=2, \theta=25^{\circ}, \varphi=90^{\circ}\right)

Passo 1

O enunciado dá a densidade de fluxo elétrico e pede o campo elétrico no ponto indicado. Informações dadas:
\mathbf{D}=0,3\,r^{2}\,\mathbf{a}_{r}\\ \text{nC/m}^{2}
Ponto pedido:
P\big(r=2,\;\theta=25^\circ,\;\varphi=90^\circ\big).
O meio é o espaço livre (vácuo). Não inicio a resolução ainda, apenas organizei os dados acima.

Passo 2

Relação física que vamos usar (aula curta): em meios lineares isotrópicos homogêneos, a densidade de fluxo elétrico e o campo elétrico estão relacionados por
\mathbf{D}=\varepsilon\,\mathbf{E},
onde \varepsilon é a permissividade do meio. No espaço livre temos \varepsilon=\varepsilon_0 (constante do vácuo). Logo, para achar \mathbf{E} basta inverter:
\mathbf{E}=\frac{\mathbf{D}}{\varepsilon_0}.
Aqui \varepsilon_0 é a constante do vácuo, \varepsilon_0\approx 8,854\times10^{-12}\\ \mathrm{F/m}. Essa fórmula significa: cada componente de \mathbf{D} é dividida por \varepsilon_0 para obter a componente correspondente de \mathbf{E}.

Passo 3

Vou avaliar \mathbf{D} no ponto r=2 e converter unidades de nC/m² para C/m² (a unidade padrão para usar com \varepsilon_0). Primeiro o valor radial de \mathbf{D} em r=2:
D_r(2)=0,3\cdot 2^{2}=0,3\cdot 4=1,2\\ \text{nC/m}^{2}.
Converter nC para C:
1,2\\ \text{nC/m}^{2}=1,2\times10^{-9}\\ \text{C/m}^{2}.

Passo 4

Agora calculo o módulo radial de \mathbf{E} usando \mathbf{E}=\mathbf{D}/\varepsilon_0. Como \mathbf{D} é puramente radial,
E_r=\frac{D_r}{\varepsilon_0}=\frac{1,2\times10^{-9}}{8,854\times10^{-12}}.
Faço a conta passo a passo:
\frac{1,2\times10^{-9}}{8,854\times10^{-12}}=\frac{1,2}{8,854}\times10^{3}\approx0,13555\times10^{3}\approx135,6.
Portanto o módulo radial é aproximadamente
E_r\approx135,6\\ \mathrm{V/m}.
(obs.: 1\\ \mathrm{V/m}=1\\ \mathrm{N/C}, unidade do campo elétrico.)

Passo 5

Direção do campo: como \mathbf{D} é na direção radial \mathbf{a}_r, o campo também será radial:
\mathbf{E}=E_r\,\mathbf{a}_r.
Agora preciso escrever \mathbf{a}_r em componentes cartesianos para dar a resposta no sistema usual. A relação entre o versor radial e os versores cartesianos é (fórmula padrão de coordenadas esféricas):
\mathbf{a}_r=\sin\theta\cos\varphi\,\mathbf{a}_x+\sin\theta\sin\varphi\,\mathbf{a}_y+\cos\theta\,\mathbf{a}_z.
Aqui \theta é o ângulo polar (medido a partir do eixo z) e \varphi é o ângulo azimutal (no plano xy). Essa fórmula vem da definição geométrica das coordenadas esféricas — se você nunca decorou, pense que a projeção no plano xy tem magnitude \sin\theta e se divide entre x e y com \cos\varphi e \sin\varphi.

Passo 6

Substituo os ângulos do ponto P, com \theta=25^\circ e \varphi=90^\circ. Primeiro os valores trigonométricos aproximados:
\sin25^\circ\approx0,4226,\qquad \cos25^\circ\approx0,9063,
\cos90^\circ=0,\qquad \sin90^\circ=1.
Assim
\mathbf{a}_r=\sin25^\circ\cos90^\circ\,\mathbf{a}_x+\sin25^\circ\sin90^\circ\,\mathbf{a}_y+\cos25^\circ\,\mathbf{a}_z
\phantom{\mathbf{a}_r}=0\cdot\mathbf{a}_x+0,4226\;\mathbf{a}_y+0,9063\;\mathbf{a}_z.

Passo 7

Multiplico o módulo E_r pelas componentes do versor radial para obter as componentes do campo elétrico:
E_x=E_r\cdot 0=0,
E_y=E_r\cdot 0,4226\approx135,6\cdot0,4226\approx57,3\\ \mathrm{V/m},
E_z=E_r\cdot 0,9063\approx135,6\cdot0,9063\approx122,9\\ \mathrm{V/m}.
Portanto, em forma vetorial:
\mathbf{E}\approx135,6\,\mathbf{a}_r\\ \mathrm{V/m}
ou em componentes cartesianas
\mathbf{E}\approx0\,\mathbf{a}_x+57,3\,\mathbf{a}_y+122,9\,\mathbf{a}_z\\ \mathrm{V/m}.

Resposta

\displaystyle \mathbf{E}\approx135,6\,\mathbf{a}_r\\ \mathrm{V/m}
\displaystyle \mathbf{E}\approx0\,\mathbf{a}_x+57,3\,\mathbf{a}_y+122,9\,\mathbf{a}_z\\ \mathrm{V/m}

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