As três retas x_{1}-4 x_{2}=1,2 x_{1}-x_{2}=-3,-x_{1}-3 x_{2}=4 possuem o mesmo ponto de interseção? Explique sua resposta.

Passo 1

O enunciado fornece três equações de retas (duas variáveis x_{1} e x_{2}) e pergunta se as três possuem o mesmo ponto de interseção. As equações dadas são:
\begin{aligned} &(1)\quad x_{1}-4x_{2}=1,\\\ &(2)\quad 2x_{1}-x_{2}=-3,\\\ &(3)\quad -x_{1}-3x_{2}=4. \end{aligned}
O que se pede é verificar se existe um par (x_{1},x_{2}) que satisfaça simultaneamente as três equações; se existir, esse par é o ponto comum de interseção.

Passo 2

Escolho resolver as primeiras duas equações para encontrar o ponto de interseção entre as duas primeiras retas e, em seguida, verificar se esse ponto também satisfaz a terceira equação. Motivo: com duas equações lineares em duas incógnitas obtém-se em geral uma solução única (o ponto de interseção dessas duas retas), e checar a terceira é só substituir. Esse método (eliminação ou substituição) é básico e eficiente para este caso.
Breve ideia do método de eliminação que vou usar: combinar linearmente as equações para eliminar uma incógnita e assim obter o valor da outra, depois voltar para encontrar a primeira incógnita. Cada operação deve ser válida (somar/subtrair equações, multiplicar por constante diferente de zero).

Passo 3

Usando eliminação nas equações (1) e (2).
Multiplico a equação (1) por 2 para igualar os coeficientes de x_{1}:
2\cdot(1)\Rightarrow 2x_{1}-8x_{2}=2.
Agora subtraio a equação (2) dessa nova equação para eliminar x_{1}:
(2x_{1}-8x_{2})-(2x_{1}-x_{2}) = 2 - (-3).
No lado esquerdo o 2x_{1} cancela:
-8x_{2}+x_{2} = 5.
Logo
-7x_{2}=5.
Isolando x_{2}:
x_{2}=-\dfrac{5}{7}.
Agora substituo esse valor em (1) para achar x_{1}:
x_{1} -4x_{2}=1 \quad\Rightarrow\quad x_{1}-4\!\left(-\dfrac{5}{7}\right)=1.
Calculo o termo:
-4\left(-\dfrac{5}{7}\right)=\dfrac{20}{7},
então
x_{1}+\dfrac{20}{7}=1.
Passo 1 para a forma de sétimos:
1=\dfrac{7}{7},
logo
x_{1}=\dfrac{7}{7}-\dfrac{20}{7}=-\dfrac{13}{7}.
Portanto as duas primeiras retas intersectam no ponto com coordenadas
\left(x_{1},x_{2}\right)=\left(-\dfrac{13}{7},-\dfrac{5}{7}\right).

Passo 4

Verifico se esse ponto também satisfaz a terceira equação (3). Faço a substituição na expressão à esquerda de (3):
-x_{1}-3x_{2} = -\left(-\dfrac{13}{7}\right) -3\left(-\dfrac{5}{7}\right).
Calculo os termos:
-\left(-\dfrac{13}{7}\right)=\dfrac{13}{7},\qquad -3\left(-\dfrac{5}{7}\right)=\dfrac{15}{7}.
Somando:
\dfrac{13}{7}+\dfrac{15}{7}=\dfrac{28}{7}=4.
Isso coincide exatamente com o lado direito de (3), que é 4. Portanto o ponto encontrado satisfaz a terceira equação.

Passo 5

Como o par \left(-\dfrac{13}{7},-\dfrac{5}{7}\right) satisfaz as três equações simultaneamente, concluímos que as três retas têm o mesmo ponto de interseção.

Resposta

Sim. \left(-\dfrac{13}{7},-\dfrac{5}{7}\right)

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