As três retas
possuem o mesmo ponto de interseção? Explique sua resposta.
Passo 1
O enunciado fornece três equações de retas (duas variáveis
e
) e pergunta se as três possuem o mesmo ponto de interseção. As equações dadas são:
O que se pede é verificar se existe um par
que satisfaça simultaneamente as três equações; se existir, esse par é o ponto comum de interseção.
Passo 2
Escolho resolver as primeiras duas equações para encontrar o ponto de interseção entre as duas primeiras retas e, em seguida, verificar se esse ponto também satisfaz a terceira equação. Motivo: com duas equações lineares em duas incógnitas obtém-se em geral uma solução única (o ponto de interseção dessas duas retas), e checar a terceira é só substituir. Esse método (eliminação ou substituição) é básico e eficiente para este caso.
Breve ideia do método de eliminação que vou usar: combinar linearmente as equações para eliminar uma incógnita e assim obter o valor da outra, depois voltar para encontrar a primeira incógnita. Cada operação deve ser válida (somar/subtrair equações, multiplicar por constante diferente de zero).
Passo 3
Usando eliminação nas equações
e
.
Multiplico a equação
por
para igualar os coeficientes de
:
Agora subtraio a equação
dessa nova equação para eliminar
:
No lado esquerdo o
cancela:
Logo
Isolando
:
Agora substituo esse valor em
para achar
:
Calculo o termo:
então
Passo
para a forma de sétimos:
logo
Portanto as duas primeiras retas intersectam no ponto com coordenadas
Passo 4
Verifico se esse ponto também satisfaz a terceira equação
. Faço a substituição na expressão à esquerda de
:
Calculo os termos:
Somando:
Isso coincide exatamente com o lado direito de
, que é
. Portanto o ponto encontrado satisfaz a terceira equação.
Passo 5
Como o par
satisfaz as três equações simultaneamente, concluímos que as três retas têm o mesmo ponto de interseção.
Resposta
Sim.