O que se pede:
(i) valores de h e k tais que o sistema tenha nenhuma solução (inconsistente);
(ii) valores de h e k tais que o sistema tenha uma única solução;
(iii) valores de h e k tais que o sistema tenha infinitas soluções.
Observações iniciais (dados do enunciado):
Os coeficientes das incógnitas são 1, h, 3 e -2.
Os termos independentes (lado direito) são 2 e k.]
Passo 2
Método que vamos usar (explicando a ideia): para um sistema linear 2\times2 como este é muito prático usar a matriz dos coeficientes e o determinante. Se a matriz dos coeficientes tem determinante diferente de zero, o sistema tem única solução. Se o determinante é zero, as equações podem ser proporcionais (infinitas soluções) ou incompatíveis (nenhuma solução).
o determinante é \det = ad-bc. Se \det\neq0 a matriz é invertível e o sistema tem única solução. Se \det=0 a matriz não é invertível e devemos verificar consistência.]
Passo 3
Calcular o determinante da matriz dos coeficientes e interpretar:
Determinante:
\det(A)=1\cdot(-2)-3\cdot h = -2-3h.
Consequência imediata:
Se -2-3h\neq0 então \det(A)\neq0 e o sistema tem exatamente uma solução.
Se -2-3h=0 então \det(A)=0 e é preciso analisar se o sistema é compatível ou não.
Resolver a igualdade -2-3h=0 para saber quando o determinante se anula:
Para h\neq -\dfrac{2}{3}: matriz invertível \Rightarrow única solução.
Para h=-\dfrac{2}{3}: matriz singular \Rightarrow pode ser nenhuma ou infinitas soluções — precisamos comparar as equações.
Passo 4
Analisar o caso crítico h=-\dfrac{2}{3}. Vou escrever as duas equações quando h=-\dfrac{2}{3}:
Primeira equação (substituindo h):
x_{1}-\dfrac{2}{3}x_{2}=2.
Multiplicando essa equação por 3 (para eliminar frações e comparar com a segunda):
3x_{1}-2x_{2}=6.
Segunda equação (do enunciado) é
3x_{1}-2x_{2}=k.
Agora compare as duas linhas: a primeira, multiplicada por 3, virou 3x_{1}-2x_{2}=6; a segunda é 3x_{1}-2x_{2}=k.
Passo 5
Conclusão sobre consistência quando h=-\dfrac{2}{3}:
Se as duas equações forem exatamente a mesma (coeficientes e termo independente iguais), então são dependentes e o sistema tem infinitas soluções. Aqui isso ocorre quando o termo independente também coincide, ou seja, quando
k=6.
Se os coeficientes das duas equações são proporcionais mas os termos independentes não coincidem (aqui os coeficientes já coincidem exatamente após a manipulação), então o sistema é inconsistente e não tem solução. No nosso caso, se h=-\dfrac{2}{3} e
k\neq6,
então a segunda equação contradiz a primeira e não existe solução.
Passo 6
Complemento didático: fórmula das soluções quando existe solução única (para usar na prova)
Assumindo h\neq -\dfrac{2}{3} (caso \det(A)\neq0), uma maneira simples de resolver é eliminação. Faço a eliminação para achar x_{2} e x_{1}:
Multiplicar a primeira equação por -3 e somar com a segunda para eliminar x_{1}: