Considere o seguinte sistema de equações lineares:
\left\{\begin{array}{l} x_{1}+h x_{2}=2 \\\\ 3 x_{1}-2 x_{2}=k \end{array}\right.
Determine os valores de h e k tais que o sistema tenha
(i) nenhuma solução
(ii) uma única solução
(iii) infinitas soluções.

Passo 1

O enunciado nos dá o sistema linear com duas equações e duas incógnitas. Vou listar claramente o que é pedido e os dados fornecidos.
  • Sistema:
\left\{\begin{array}{l} x_{1}+h x_{2}=2\\[4pt] 3 x_{1}-2 x_{2}=k \end{array}\right.
  • O que se pede:
    (i) valores de h e k tais que o sistema tenha nenhuma solução (inconsistente);
    (ii) valores de h e k tais que o sistema tenha uma única solução;
    (iii) valores de h e k tais que o sistema tenha infinitas soluções.
  • Observações iniciais (dados do enunciado):
    • Os coeficientes das incógnitas são 1, h, 3 e -2.
    • Os termos independentes (lado direito) são 2 e k.]

Passo 2

Método que vamos usar (explicando a ideia): para um sistema linear 2\times2 como este é muito prático usar a matriz dos coeficientes e o determinante. Se a matriz dos coeficientes tem determinante diferente de zero, o sistema tem única solução. Se o determinante é zero, as equações podem ser proporcionais (infinitas soluções) ou incompatíveis (nenhuma solução).
  • Representação matricial (só para visualizar):
A=\begin{pmatrix}1 & h \\[4pt] 3 & -2\end{pmatrix}, \qquad \mathbf{x}=\begin{pmatrix}x_{1}\\[4pt] x_{2}\end{pmatrix}, \qquad \mathbf{b}=\begin{pmatrix}2\\[4pt] k\end{pmatrix}.
O sistema é A\mathbf{x}=\mathbf{b}.
  • Conceito do determinante: para uma matriz
\begin{pmatrix}a & b\\[4pt] c & d\end{pmatrix}
o determinante é \det = ad-bc. Se \det\neq0 a matriz é invertível e o sistema tem única solução. Se \det=0 a matriz não é invertível e devemos verificar consistência.]

Passo 3

Calcular o determinante da matriz dos coeficientes e interpretar:
  • Determinante:
\det(A)=1\cdot(-2)-3\cdot h = -2-3h.
  • Consequência imediata:
    • Se -2-3h\neq0 então \det(A)\neq0 e o sistema tem exatamente uma solução.
    • Se -2-3h=0 então \det(A)=0 e é preciso analisar se o sistema é compatível ou não.
Resolver a igualdade -2-3h=0 para saber quando o determinante se anula:
-2-3h=0 \quad\Rightarrow\quad 3h=-2 \quad\Rightarrow\quad h=-\dfrac{2}{3}.
Portanto:
  • Para h\neq -\dfrac{2}{3}: matriz invertível \Rightarrow única solução.
  • Para h=-\dfrac{2}{3}: matriz singular \Rightarrow pode ser nenhuma ou infinitas soluções — precisamos comparar as equações.

Passo 4

Analisar o caso crítico h=-\dfrac{2}{3}. Vou escrever as duas equações quando h=-\dfrac{2}{3}:
  • Primeira equação (substituindo h):
x_{1}-\dfrac{2}{3}x_{2}=2.
Multiplicando essa equação por 3 (para eliminar frações e comparar com a segunda):
3x_{1}-2x_{2}=6.
  • Segunda equação (do enunciado) é
3x_{1}-2x_{2}=k.
Agora compare as duas linhas: a primeira, multiplicada por 3, virou 3x_{1}-2x_{2}=6; a segunda é 3x_{1}-2x_{2}=k.

Passo 5

Conclusão sobre consistência quando h=-\dfrac{2}{3}:
  • Se as duas equações forem exatamente a mesma (coeficientes e termo independente iguais), então são dependentes e o sistema tem infinitas soluções. Aqui isso ocorre quando o termo independente também coincide, ou seja, quando
k=6.
  • Se os coeficientes das duas equações são proporcionais mas os termos independentes não coincidem (aqui os coeficientes já coincidem exatamente após a manipulação), então o sistema é inconsistente e não tem solução. No nosso caso, se h=-\dfrac{2}{3} e
k\neq6,
então a segunda equação contradiz a primeira e não existe solução.

Passo 6

Complemento didático: fórmula das soluções quando existe solução única (para usar na prova)
Assumindo h\neq -\dfrac{2}{3} (caso \det(A)\neq0), uma maneira simples de resolver é eliminação. Faço a eliminação para achar x_{2} e x_{1}:
  • Multiplicar a primeira equação por -3 e somar com a segunda para eliminar x_{1}:
-3(x_{1}+h x_{2}) = -6 \quad\Rightarrow\quad -3x_{1}-3h x_{2}=-6.
Somando com 3x_{1}-2x_{2}=k obtém-se
(-2-3h)x_{2}=k-6.
Como -2-3h\neq0, então
x_{2}=\dfrac{k-6}{-2-3h}=\dfrac{6-k}{2+3h}.
  • Depois, usando x_{1}=2-hx_{2}, temos
x_{1}=2-h\cdot \dfrac{6-k}{2+3h}.
Essas expressões servem para calcular explicitamente a solução na prova quando h\neq -\dfrac{2}{3}.

Resposta

(i) nenhuma solução: h=-\dfrac{2}{3} e k\neq 6
(ii) uma única solução: h\neq -\dfrac{2}{3} (qualquer k)
(iii) infinitas soluções: h=-\dfrac{2}{3} e k=6

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