Determine o(s) valor(es) de h de modo que as seguintes matrizes aumentadas descrevam sistemas lineares consistentes:
\left[\begin{array}{ccc}2 & -6 & -3 \\\\ -4 & 12 & h\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado fornece a matriz aumentada
\left[\begin{array}{ccc}2 & -6 & -3 \\[4pt] -4 & 12 & h\end{array}\right]
e pede para determinar o(s) valor(es) de h de modo que ela descreva um sistema linear consistente.
Informações extraídas:
  • A matriz é aumentada de um sistema com duas incógnitas (digamos x e y): as duas primeiras colunas são os coeficientes de x e y e a terceira coluna são os termos constantes.
  • As equações correspondentes são:
2x - 6y = -3
-4x + 12y = h
  • O objetivo: achar todos os valores de h para os quais o sistema tem pelo menos uma solução (isto é, é consistente).]

Passo 2

Estratégia (explicada devagar): uma matriz aumentada mostra as equações. Usando operações elementares de linha, podemos ver se alguma linha reduz a uma forma impossível do tipo
0x + 0y = c \quad\text{com}\quad c \neq 0,
o que significaria contradição e, portanto, sistema inconsistente. Se não surgirem contradições, o sistema é consistente. Vou aplicar uma operação de linha simples para verificar isso.

Passo 3

Aplicar a operação de linha R_2 \leftarrow R_2 + 2R_1 (multiplica-se a primeira linha por 2 e soma à segunda) para eliminar os coeficientes de x e y na segunda linha:
\left[\begin{array}{ccc}2 & -6 & -3 \\[4pt] -4 & 12 & h\end{array}\right] \overset{R_2 \leftarrow R_2 + 2R_1}{\longrightarrow} \left[\begin{array}{ccc}2 & -6 & -3 \\[4pt] 0 & 0 & h-6\end{array}\right].]

Passo 4

Interpretação da segunda linha resultante: ela representa a equação
0x + 0y = h-6,
ou simplesmente
0 = h-6.
Para que essa equação não seja uma contradição, é necessário que h-6=0. Caso contrário (isto é, se h-6\neq0), teríamos 0 = número não-nulo, o que é impossível e tornaria o sistema inconsistente.

Passo 5

Conclusões sobre os tipos de solução:
  • Se h=6, a segunda linha vira 0=0 (linha nula), sobrando apenas a primeira equação 2x-6y=-3. Com uma equação e duas incógnitas existem infinitas soluções (o sistema é consistente e indeterminado).
  • Se h\neq6, a segunda linha é 0 = número não-nulo, contraditória, então o sistema é inconsistente (sem solução).

Resposta

h=6

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