4- Três transformadores monofásicos de 50 \mathrm{kVA}, 2300 / 230 \mathrm{~V}, 60 \mathrm{~Hz} são conectados para formar um transformador trifásico de 4000 / 230 V . A impedância equivalente de cada transformador referido ao lado de baixa tensão é 0,012+\mathrm{j} 0,016 \Omega (circuito equivalente modificado do transformador). O transformador resultante trifásico alimenta uma carga trifásica de 120 \mathrm{kVA}, 230 \mathrm{~V} e fator de potência de 0,85 indutivo. Com base nessas informações responda:
a. Desenhe o diagrama esquemático mostrando as conexões dos transformares;
b. Determine a corrente nos enrolamentos do transformador; Resp.: I_{1}=17,39 A ; I_{2}=173,92
c. Determine a tensão de linha requerida no primário do transformador; Resp: V_{l}=4039,8 \mathrm{~V}
d. Determine a regulação de tensão do transformador. Resp: Reg =1,39 \%

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações (vou listar tudo que é relevante, exatamente como veio no enunciado):
  • Três transformadores monofásicos idênticos, cada um com potência aparente nominal \,50\\ \mathrm{kVA}\, e tensão nominal \,2300/230\\ \mathrm{V}\, (frequência \,60\\ \mathrm{Hz}\,).
  • Esses três transformadores são conectados para formar um transformador trifásico com tensão de linha \,4000/230\\ \mathrm{V}\,.
  • A impedância equivalente de cada transformador, referida ao lado de baixa tensão (lado de \,230\\ \mathrm{V}\,), é \,Z_{eq}=0,012+\mathrm{j}\,0,016\\ \Omega.
  • A carga trifásica conectada ao secundário é de \,120\\ \mathrm{kVA} a \,230\\ \mathrm{V}\, com fator de potência \,\mathrm{pf}=0,85 indutivo (ou seja, corrente defasada em relação à tensão).
  • Perguntas:
    a. Desenhar o diagrama esquemático mostrando as conexões dos transformadores.
    b. Determinar as correntes nos enrolamentos do transformador.
    c. Determinar a tensão de linha requerida no primário do transformador.
    d. Determinar a regulação de tensão do transformador.

Passo 2

Decisão da ligação dos enrolamentos (explicação do porquê, passo a passo, sem pular etapas):
  • Cada transformador é \,2300/230\\ \mathrm{V} por fase. Para obter uma tensão de linha primária próxima de \,4000\\ \mathrm{V}, observe que 2300\sqrt{3}\approx 2300\times 1{,}732 \approx 3984\\ \mathrm{V},ou seja, se os enrolamentos de \,2300\\ \mathrm{V} forem ligados em estrela (Y) no lado de alta tensão, a tensão de linha resultante será \,2300\sqrt{3}\approx 3984\\ \mathrm{V}, muito próxima de \,4000\\ \mathrm{V}. Portanto o primário deve ser ligado em estrela (Y).
  • No lado de baixa tensão queremos \,230\\ \mathrm{V} entre linhas. Se cada enrolamento é \,230\\ \mathrm{V}, a ligação em triângulo (Δ) faz com que a tensão de linha seja igual à tensão de cada enrolamento ( 230\\ \mathrm{V}). Assim, a ligação secundária será em triângulo (Δ).
  • Conclusão prática (diagrama esquemático em palavras): primário (lado de \,2300\\ \mathrm{V}) ligado em estrela (Y); secundário (lado de \,230\\ \mathrm{V}) ligado em triângulo (Δ). Cada transformador monofásico tem seu enrolamento de alta tensão em um dos ramos da estrela e o enrolamento de baixa tensão em um dos ramos do triângulo.

Passo 3

Determinar as correntes: primeira ideia e fórmulas básicas
  • A potência aparente total trifásica da carga é \,S_{T}=120\\ \mathrm{kVA}.
  • Em sistemas trifásicos equilibrados, a potência aparente por fase é S_{\text{fase}}=\frac{S_{T}}{3}.
  • A corrente no enrolamento de cada transformador depende da tensão que aparece nesse enrolamento:
    • No secundário (lado de \,230\\ \mathrm{V}) cada enrolamento em Δ vê \,V_{2}=230\\ \mathrm{V} (tensão de enrolamento = tensão de linha no Δ).
    • No primário ligado em Y cada enrolamento vê tensão de fase \,V_{1\_fase}=2300\\ \mathrm{V}.
  • A corrente por fase (corrente no enrolamento) é dada por I_{\text{fase}}=\frac{S_{\text{fase}}}{V_{\text{enrolamento}}}.
Cálculos numéricos:
  • Potência por fase:
    S_{\text{fase}}=\frac{120\,000\\ \mathrm{VA}}{3}=40\,000\\ \mathrm{VA}.
  • Corrente no enrolamento do secundário (cada transformador, corrente no enrolamento de \,230\\ \mathrm{V}) — esse é o corrente de fase no Δ (ou corrente do enrolamento):
    I_{2}=\frac{S_{\text{fase}}}{V_{2}}=\frac{40\,000}{230}=173{,}913\ldots\\ \mathrm{A}\approx 173{,}92\\ \mathrm{A}.
    Observação didática: no triângulo (Δ) a corrente de linha da carga trifásica é \,I_{\text{linha}}=\sqrt{3}\,I_{2}. Se precisar, \,I_{\text{linha}}=\dfrac{S_{T}}{\sqrt{3}\,V_{L}}=\dfrac{120\,000}{\sqrt{3}\times 230}\approx 301{,}5\\ \mathrm{A}, e \,I_{2}=I_{\text{linha}}/\sqrt{3} dá o mesmo resultado.

Passo 4

Corrente no enrolamento do primário (cada transformador) — raciocínio e cálculo
  • Cada transformador fornece \,S_{\text{fase}}=40\,000\\ \mathrm{VA}. No primário, a tensão de fase do enrolamento é \,V_{1\_fase}=2300\\ \mathrm{V} (ligado em Y).
  • Portanto a corrente do enrolamento primário por transformador é I_{1}=\frac{S_{\text{fase}}}{V_{1\_fase}}=\frac{40\,000}{2300}=17{,}3913\ldots\\ \mathrm{A}\approx 17{,}39\\ \mathrm{A}.

Passo 5

Preparar cálculo da tensão requerida no primário incluindo queda de tensão interna (modelo em fasores)
  • O circuito equivalente modificado indica uma impedância em série por transformador referida ao lado de baixa tensão: \,Z_{eq}=0,012+\mathrm{j}\,0,016\\ \Omega (referida ao \,230\\ \mathrm{V} side).
  • Vamos trabalhar do lado de baixa tensão por fase (cada enrolamento) e usar fasores. Tome a tensão terminal do enrolamento secundário como referência \,V_{2}=230\angle 0^\circ\\ \mathrm{V}.
  • A corrente por enrolamento (do item anterior) é \,I_{2}=173{,}913\dots\\ \mathrm{A} com fator de potência \,\mathrm{pf}=0,85 indutivo. Isso significa que a corrente atrasa a tensão em um ângulo \,\varphi tal que \cos\varphi=0,85 \quad\Rightarrow\quad \varphi=\operatorname{arccos}(0,85)\approx 31{,}79^\circ.Como a corrente atrasa, representamos a corrente por fasor I_{2}=173{,}913\angle -31{,}79^\circ\\ \mathrm{A}.

Passo 6

Cálculo da queda de tensão no enrolamento (mostrando a multiplicação complexa passo a passo)
  • Primeiro escrevemos I_{2} em forma rectangular (para multiplicar por Z_{eq}). Usando \cos\varphi=0,85 e \sin\varphi\approx 0,52678, I_{2}=173{,}913\\ (\cos 31{,}79^\circ - \mathrm{j}\sin 31{,}79^\circ) =173{,}913(0{,}85 - \mathrm{j}\,0{,}52678).Calculando as componentes: I_{2,\text{re}}=173{,}913\times 0{,}85\approx 147{,}826\\ \mathrm{A},
I_{2,\text{im}}=-173{,}913\times 0{,}52678\approx -91{,}629\\ \mathrm{A}.
  • Agora calculamos a queda de tensão \,\Delta V=I_{2}\,Z_{eq}. Multiplicando complexamente: \Delta V=(147{,}826-\mathrm{j}\,91{,}629)\times(0{,}012+\mathrm{j}\,0{,}016).Faça a multiplicação com atenção: \Delta V_{\text{re}}=147{,}826\times 0{,}012 - (-91{,}629)\times 0{,}016 \approx 1{,}7739 + 1{,}4661 = 3{,}2400\\ \mathrm{V},
\Delta V_{\text{im}}=147{,}826\times 0{,}016 + (-91{,}629)\times 0{,}012 \approx 2{,}3652 - 1{,}0995 = 1{,}2657\\ \mathrm{V}.
Logo
\Delta V\approx 3{,}2400+\mathrm{j}\,1{,}2657\\ \mathrm{V}.

Passo 7

Tensão interna do transformador no secundário e transformação para o primário
  • A tensão interna (ou EMF induzida) no lado secundário por fase é E_{2}=V_{2}+\Delta V = 230\angle 0^\circ + (3{,}2400+\mathrm{j}\,1{,}2657).Em forma rectangular: E_{2}\approx 233{,}2400+\mathrm{j}\,1{,}2657\\ \mathrm{V}.O módulo é |E_{2}|=\sqrt{233{,}2400^{2}+1{,}2657^{2}}\approx 233{,}248\\ \mathrm{V}.
  • A relação de transformação por fase (razão de espiras) é a=\frac{V_{1\_fase}}{V_{2}}=\frac{2300}{230}=10.Assim a tensão de fase no primário necessária (EMF induzida por fase) é |E_{1}|=a\,|E_{2}|\approx 10\times 233{,}248\approx 2332{,}48\\ \mathrm{V}.
  • Como o primário está em estrela (Y), a tensão de linha primária necessária é V_{L1}=\sqrt{3}\,|E_{1}|\approx \sqrt{3}\times 2332{,}48 \approx 1{,}73205\times 2332{,}48 \approx 4039{,}8\\ \mathrm{V}.

Passo 8

Cálculo da regulação de tensão e interpretação
  • Definição prática de regulação de tensão (por fase, referida ao secundário): é a variação percentual entre a tensão sem carga (tensão interna) e a tensão com carga nos terminais, mantendo a mesma corrente de carga: \mathrm{Reg}\\ \% =\frac{|E_{2}|-|V_{2}|}{|V_{2}|}\times 100\%.
  • Substituindo valores: \mathrm{Reg}\\ \% =\frac{233{,}248-230}{230}\times 100\%\approx \frac{3{,}248}{230}\times 100\%\approx 1{,}41\%.
  • Interpretação curta: com a carga especificada e com a impedância interna, a tensão sem carga (EMF interna) fica cerca de 1{,}41\% maior que a tensão de carga de 230\\ \mathrm{V}. Em muitos textos arredonda-se para \approx 1{,}4\% (o enunciado reportou \,1{,}39\% por diferenças de arredondamento).

Resposta

a. Primário: estrela (Y) com \,2300\\ \mathrm{V} em cada fase; Secundário: triângulo (Δ) com \,230\\ \mathrm{V} em cada enrolamento (Y–Δ).\n
b. \,I_{1}=17{,}39\\ \mathrm{A};\quad I_{2}=173{,}92\\ \mathrm{A}.\n c. \(\,V_{l}=4039{,}8\\ \mathrm{V}.\n d. \(\mathrm{Reg}\approx 1{,}41\\ \%.)

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