Três transformadores monofásicos de 75 MVA com especificações nominais de 39,8 \mathrm{kV}: 133 \mathrm{kV} devem ser conectados em um banco trifásico. Cada transformador tem uma impedância em série de 0,97+s 1,3 \Omega referida a seu enrolamento de 133 kV .
Se os transformadores forem conectados em \Delta-\mathrm{Y}, calcule (i) a tensão e potência nominais da conexão trifásica, (ii) a impedância equivalente referida a seus terminais de baixa tensão e (iii) a impedância equivalente referida aos seus terminais de alta tensão.
◯ a. i) 68,9 \mathrm{kV}: 230 \mathrm{kV}, 225 \mathrm{MVA}; ii) \mathrm{Zeq}=0,087+\mathrm{j} 1,01 \Omega; iii) \mathrm{Zeq}=0,32+\mathrm{j} 3,77 \Omega
◯ b. i) 68,9 \mathrm{kV} : 133 \mathrm{kV}, 225 \mathrm{MVA}; ii) \mathrm{Zeq}=0,087+\mathrm{j} 1,01 \Omega; iii) \mathrm{Zeq}=0,32+j 3,77 \Omega
◯ c. i) 68,9 \mathrm{kV} : 133 \mathrm{kV}, 225 \mathrm{MVA}; iio \mathrm{Zeq}=0,97+\mathrm{jll}, 3 \Omega; iii) Zeq =0,32+j 3,77 \Omega
◯ d. i) 68,9 \mathrm{kV} : 133 \mathrm{kV}, 225 \mathrm{MVA}; ii0 \mathrm{Zeq}=0,087+\mathrm{jl}, 01 \Omega; iii) \mathrm{Zeq}=0,97+\mathrm{j} \|, 3 \Omega

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
Dados extraídos do enunciado:
  • São três transformadores monofásicos idênticos, cada um com potência nominal \,75\\ \mathrm{MVA}.
  • Tensões nominais do enrolamento de cada transformador: \,39{,}8\\ \mathrm{kV} : 133\\ \mathrm{kV} (primeiro número correspondente ao enrolamento de menor tensão, segundo ao de maior tensão).
  • Impedância série de cada transformador referida ao enrolamento de 133\\ \mathrm{kV}: \,Z_H = 0{,}97 + \mathrm{j}\,1{,}3\\ \Omega.
  • A conexão pedida é \Delta\!-\!Y (delta — y), ou seja, um lado em delta e o outro em estrela. Neste problema interpretarei que o enrolamento de 133\\ \mathrm{kV} é conectado em \Delta (delta) e o enrolamento de 39{,}8\\ \mathrm{kV} é conectado em \mathrm{Y} (estrela). Essa escolha é coerente com os valores fornecidos e com as alternativas (ver justificativa no passo seguinte).
O enunciado pede:
(i) a tensão nominal trifásica (tensão linha a linha) em ambos os lados do banco e a potência nominal trifásica total do banco;
(ii) a impedância equivalente do banco referida aos terminais de baixa tensão (ou seja, vista entre os terminais de baixa tensão do banco trifásico);
(iii) a impedância equivalente do banco referida aos terminais de alta tensão.

Passo 2

Entender como as tensões de fase se transformam nas conexões \Delta e \mathrm{Y} (lembrete conceitual).
  • Para um enrolamento que fica na conexão \mathrm{Y}: a tensão de linha V_{LL} e a tensão de fase V_{\varphi} estão relacionadas por \;V_{LL}=\sqrt{3}\,V_{\varphi}. Aqui V_{\varphi} é a tensão do enrolamento (fase a neutro).
  • Para um enrolamento na conexão \Delta: a tensão de linha V_{LL} é igual à tensão de fase do ramo do delta: V_{LL}=V_{\varphi} (cada lado do delta já é uma tensão linha a linha).
Aplicando ao nosso caso:
  • Cada enrolamento de baixa tensão tem tensão nominal \,39{,}8\\ \mathrm{kV}. Se esses enrolamentos forem ligados em \mathrm{Y}, a tensão linha do lado de baixa será
V_{LL,\text{baixa}}=\sqrt{3}\cdot 39{,}8\\ \mathrm{kV}.
  • Cada enrolamento de alta tem 133\\ \mathrm{kV} e se for ligado em \Delta então V_{LL,\text{alta}}=133\\ \mathrm{kV}.

Passo 3

Calcular numericamente as tensões linha a linha:
Calcule \sqrt{3}:
\sqrt{3}\approx 1{,}732.
Portanto
V_{LL,\text{baixa}}=\sqrt{3}\cdot 39{,}8 =\;1{,}732\cdot 39{,}8\approx 68{,}9\\ \mathrm{kV}.
Logo as tensões nominais do banco trifásico serão
68{,}9\\ \mathrm{kV} : 133\\ \mathrm{kV}.
Para a potência total do banco trifásico: soma das três unidades monofásicas idênticas:
S_{\text{total}}=3\cdot 75\\ \mathrm{MVA}=225\\ \mathrm{MVA}.

Passo 4

Agora vamos trabalhar com impedâncias e com a regra de transformação de impedância entre enrolamentos.
Regra básica (aula curta e prática):
  • Se um transformador tem razão de transformação (tensão de fase) \,a=\dfrac{V_{H,\varphi}}{V_{L,\varphi}} (tomando V_{H,\varphi} tensão de fase do lado de referência e V_{L,\varphi} do outro lado), então uma impedância referida ao lado de alta tensão Z_H é transformada para o lado de baixa tensão por
Z_L=\frac{Z_H}{a^{2}}.
  • Ou inversamente, Z_H=a^{2}\,Z_L.
Neste problema:
a=\frac{V_{H,\varphi}}{V_{L,\varphi}}=\frac{133}{39{,}8}.
Calcule a e a^{2}:
a=\frac{133}{39{,}8}\approx 3{,}343216\quad\Rightarrow\quad a^{2}\approx 11{,}1816.

Passo 5

Calcular a impedância de cada transformador referida ao lado de baixa tensão (impedância fase do enrolamento de baixa tensão).
Usando Z_H=0{,}97+\mathrm{j}\,1{,}3\\ \Omega e Z_L=Z_H/a^{2}:
Z_{L,\varphi}=\frac{0{,}97+\mathrm{j}\,1{,}3}{11{,}1816}.
Calcule as partes real e imaginária:
\Re(Z_{L,\varphi})=\frac{0{,}97}{11{,}1816}\approx 0{,}0868\\ \Omega,
\Im(Z_{L,\varphi})=\frac{1{,}3}{11{,}1816}\approx 0{,}1163\\ \Omega.
Portanto, por fase no lado baixo (fase a neutro):
Z_{L,\varphi}\approx 0{,}0868+\mathrm{j}\,0{,}1163\\ \Omega.
Explicando como usar isso na prática de prova: esse é o valor de impedância que cada fase do banco em estrela apresenta entre o terminal de fase e o neutro (interno). Se alguém pedir a impedância vista entre linha e neutro, é exatamente esse Z_{L,\varphi}.

Passo 6

Encontrar a impedância equivalente entre terminais de baixa tensão do banco (interpretação típica: impedância entre duas fases, ou seja, entre duas linhas) — passo a passo e raciocínio.
No lado em \mathrm{Y} (estrela) a impedância entre duas linhas (linha a linha) é a soma das duas impedâncias de fase correspondentes (pois entre duas linhas existe o caminho série passando por duas fases até o neutro). Como as fases são idênticas:
Z_{LL,\text{baixa}}=Z_{L,\varphi}+Z_{L,\varphi}=2\,Z_{L,\varphi}.
Portanto
Z_{LL,\text{baixa}}=2\,(0{,}0868+\mathrm{j}\,0{,}1163) \approx 0{,}1736+\mathrm{j}\,0{,}2326\\ \Omega.
Observação didática: se a pergunta pedisse a impedância “por fase” do banco no lado baixo, usaríamos Z_{L,\varphi}. Se pediu “a impedância equivalente referida a seus terminais de baixa tensão” normalmente isso significa a impedância vista entre duas linhas do lado baixo, então o valor correto é Z_{LL,\text{baixa}} acima.

Passo 7

Encontrar a impedância equivalente referida aos terminais de alta tensão (lado em \Delta).
Forma direta (usando a própria impedância dada e a topologia delta):
  • Num delta formado por três impedâncias idênticas Z_H em cada lado do triângulo, a impedância entre duas linhas (dois terminais do delta) pode ser calculada reconhecendo dois caminhos: o ramo direto Z_H entre esses dois terminais em paralelo com o caminho formado pelos outros dois ramos em série (Z_H+Z_H). Essa combinação dá:
Z_{LL,\text{alta}}=\left( Z_H \parallel (2Z_H)\right)=\frac{Z_H\cdot 2Z_H}{Z_H+2Z_H}=\frac{2}{3}Z_H.
Portanto
Z_{LL,\text{alta}}=\frac{2}{3}\,(0{,}97+\mathrm{j}\,1{,}3).
Calcule as partes:
\Re(Z_{LL,\text{alta}})=\frac{2}{3}\cdot 0{,}97\approx 0{,}6467\\ \Omega,
\Im(Z_{LL,\text{alta}})=\frac{2}{3}\cdot 1{,}3\approx 0{,}8667\\ \Omega.
Logo
Z_{LL,\text{alta}}\approx 0{,}6467+\mathrm{j}\,0{,}8667\\ \Omega.
Verificação cruzada (útil na prova): transformar o Z_{LL,\text{baixa}} calculado no passo anterior para o lado alto. Como Z_{LL,\text{baixa}}=2Z_{L,\varphi} e Z_{L,\varphi}=Z_H/a^{2},
Z_{LL,\text{baixa}}=2\frac{Z_H}{a^{2}}.
Ao referir esse valor ao lado alto multiplicamos por a^{2}, mas devemos lembrar que estamos passando de uma impedância entre duas linhas do lado baixo para uma impedância entre duas linhas do lado alto em configuração delta-estrela; a relação algebraica correta dá (fazendo as contas):
Z_{LL,\text{alta}}=\frac{a^{2}}{3}\,Z_{LL,\text{baixa}},
e substituindo números chega-se novamente a \approx 0{,}6467+\mathrm{j}\,0{,}8667\\ \Omega. Isso confirma consistência entre as duas abordagens.

Passo 8

Resumo numérico (arredondando com razoável precisão para uso em prova):
  • Razão de transformação por fase: \;a\approx 3{,}343, a^{2}\approx 11{,}1816.
  • Impedância por fase referida ao lado baixo: \;Z_{L,\varphi}\approx 0{,}0868+\mathrm{j}\,0{,}1163\\ \Omega.
  • Impedância entre duas linhas no lado baixo (equivalente vista entre terminais de baixa tensão):
Z_{LL,\text{baixa}}\approx 0{,}1736+\mathrm{j}\,0{,}2326\\ \Omega.
  • Impedância entre duas linhas no lado alto (equivalente vista entre terminais de alta tensão):
Z_{LL,\text{alta}}\approx 0{,}6467+\mathrm{j}\,0{,}8667\\ \Omega.

Resposta

(i) 68{,}9\\ \mathrm{kV} : 133\\ \mathrm{kV},\\\ 225\\ \mathrm{MVA}
(ii) Z_{LL,\text{baixa}}\approx 0{,}1736+\mathrm{j}\,0{,}2326\\ \Omega
(iii) Z_{LL,\text{alta}}\approx 0{,}6467+\mathrm{j}\,0{,}8667\\ \Omega

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