Três vetores são dados por
\begin{aligned} \vec{a} & =3,0 \hat{i}+3,0 \hat{j}-2,0 \hat{k} \\\ \vec{b} & =-1,0 \hat{i}-4,0 \hat{j}+2,0 \hat{k} \\\ \vec{c} & =2,0 \hat{i}+2,0 \hat{j}+1,0 \hat{k} \end{aligned}
Determine,
\vec{a} \cdot(\vec{b} \times \vec{c})

Passo 1

O enunciado pede o valor do produto escalar triplo \vec{a}\cdot(\vec{b}\times\vec{c}).
Dados (peguei os componentes diretamente do enunciado):
\vec{a}=(3,0,\;3,0,\;-2,0),\qquad \vec{b}=(-1,0,\;-4,0,\;2,0),\qquad \vec{c}=(2,0,\;2,0,\;1,0).

Passo 2

O que vamos calcular na prática: primeiro calculamos o produto vetorial \vec{b}\times\vec{c}, que resulta em um vetor, e depois fazemos o produto escalar desse resultado com \vec{a}.
Relembrando as fórmulas (aqui explico passo a passo):
  • Produto vetorial. Para \vec{u}=(u_1,u_2,u_3) e \vec{v}=(v_1,v_2,v_3),
\vec{u}\times\vec{v}=\bigl(u_2v_3-u_3v_2,\;u_3v_1-u_1v_3,\;u_1v_2-u_2v_1\bigr).
Cada componente é uma diferença de produtos — cuidado com os sinais.
  • Produto escalar. Para \vec{p}=(p_1,p_2,p_3) e \vec{q}=(q_1,q_2,q_3),
\vec{p}\cdot\vec{q}=p_1q_1+p_2q_2+p_3q_3.
É só multiplicar componente a componente e somar.

Passo 3

Vamos aplicar a fórmula do produto vetorial com \vec{u}=\vec{b} e \vec{v}=\vec{c}.
Calculo das componentes de \vec{b}\times\vec{c}:
Primeira componente:
b_2 c_3 - b_3 c_2 = (-4,0)\cdot(1,0) - (2,0)\cdot(2,0) = -4,0 - 4,0 = -8,0.
Segunda componente:
b_3 c_1 - b_1 c_3 = (2,0)\cdot(2,0) - (-1,0)\cdot(1,0) = 4,0 - (-1,0) = 5,0.
Terceira componente:
b_1 c_2 - b_2 c_1 = (-1,0)\cdot(2,0) - (-4,0)\cdot(2,0) = -2,0 - (-8,0) = 6,0.

Passo 4

Portanto
\vec{b}\times\vec{c}=(-8,0,\;5,0,\;6,0).

Passo 5

Agora fazemos o produto escalar \vec{a}\cdot(\vec{b}\times\vec{c}).
Multiplicando componente a componente:
\begin{aligned} a_1\cdot(-8,0) &= (3,0)\cdot(-8,0) = -24,0,\\\ a_2\cdot5,0 &= (3,0)\cdot5,0 = 15,0,\\\ a_3\cdot6,0 &= (-2,0)\cdot6,0 = -12,0. \end{aligned}
Somando:
-24,0 + 15,0 + (-12,0) = -21,0.

Passo 6

Interpretação rápida (só para motivar): o valor -21,0 é o volume orientado do paralelepípedo formado por \vec{a},\vec{b},\vec{c} (o sinal negativo indica orientação definida pela ordem dos vetores).

Resposta

-21,0

Exercícios relacionados