Um triângulo A B C, retângulo em B, e um paralelogramo B C D E estão situados em planos distintos. Prove que as retas \overleftrightarrow{A B} e \overleftrightarrow{D E} são ortogonais.

Passo 1

O enunciado dá estas informações:
  • Há um triângulo A B C que é retângulo em B. Ou seja, a reta \overleftrightarrow{A B} é perpendicular à reta \overleftrightarrow{B C}.
  • Existe um paralelogramo B C D E. Das propriedades do paralelogramo sabemos que os lados opostos são paralelos (e de mesmo comprimento): portanto \overline{B C} é paralelo a \overline{D E} (os vetores \overrightarrow{B C} e \overrightarrow{D E} são colineares, possivelmente com sentidos opostos).
  • Os dois objetos (triângulo e paralelogramo) estão em planos distintos — isto diz respeito apenas à posição no espaço, mas as relações de paralelismo e perpendicularidade entre retas continuam a fazer sentido em espaço tridimensional.
O que se pede: provar que as retas \overleftrightarrow{A B} e \overleftrightarrow{D E} são ortogonais.

Passo 2

Vou explicar um conceito que vou usar e ensinar o que significa rigorosamente “retas ortogonais no espaço” de modo simples.
Definição prática (útil para provas): duas retas no espaço são ortogonais quando os vetores diretores dessas retas são ortogonais (ou seja, o produto escalar entre os vetores diretores é zero).
  • Se tomar um vetor diretor de \overleftrightarrow{A B}, escrevo \overrightarrow{A B}.
  • Se tomar um vetor diretor de \overleftrightarrow{B C}, escrevo \overrightarrow{B C}.
  • Se tomar um vetor diretor de \overleftrightarrow{D E}, escrevo \overrightarrow{D E}.
Produto escalar (ideia rápida): para vetores \vec{u}=(u_1,u_2,u_3) e \vec{v}=(v_1,v_2,v_3) define-se
\vec{u}\cdot\vec{v}=u_1v_1+u_2v_2+u_3v_3.
Propriedade chave: \vec{u} é ortogonal a \vec{v} se, e somente se, \vec{u}\cdot\vec{v}=0. Não é preciso calcular coordenadas para usar essa ideia; é uma ferramenta conceitual: vetores perpendiculares têm produto escalar nulo.

Passo 3

Usando o dado do triângulo retângulo em B: como o ângulo em B é reto, as retas \overleftrightarrow{A B} e \overleftrightarrow{B C} são perpendiculares. Em termos de vetores:
\overrightarrow{A B}\cdot\overrightarrow{B C}=0.
Expliquei antes: produto escalar zero equivale a perpendicularidade entre os vetores diretores das retas.

Passo 4

Usando a propriedade do paralelogramo B C D E: lados opostos são paralelos e iguais. Se os vértices estão em ordem B\!-\!C\!-\!D\!-\!E então os vetores vértice a vértice satisfazem
\overrightarrow{D E} = -\,\overrightarrow{B C}.
Para ver isso de forma elementar: suponha \overrightarrow{B C}=\vec{v} e \overrightarrow{B E}=\vec{w}. Então D=C+\vec{w} e E=B+\vec{w} (pensando em soma de vetores), daí
\overrightarrow{D E}= \overrightarrow{B+\vec{w}\;-\;(C+\vec{w})} = B-C = -\overrightarrow{B C}.
A conclusão importante é que \overrightarrow{D E} é paralelo a \overrightarrow{B C} (mesmo sentido ou sentido oposto); na linguagem de vetores \overrightarrow{D E} é um múltiplo escalar de \overrightarrow{B C}, neste caso o múltiplo é -1.

Passo 5

Agora uso linearidade do produto escalar para combinar os itens anteriores:
\overrightarrow{A B}\cdot\overrightarrow{D E}=\overrightarrow{A B}\cdot\big(-\overrightarrow{B C}\big)=-\big(\overrightarrow{A B}\cdot\overrightarrow{B C}\big).
Mas do Passo 3 sabemos que \overrightarrow{A B}\cdot\overrightarrow{B C}=0. Portanto
\overrightarrow{A B}\cdot\overrightarrow{D E}= -0 = 0.
Pelo critério do produto escalar, ter produto escalar zero significa que os vetores diretores são ortogonais.

Passo 6

Conclusão lógica: como os vetores diretores de \overleftrightarrow{A B} e de \overleftrightarrow{D E} têm produto escalar zero, as retas \overleftrightarrow{A B} e \overleftrightarrow{D E} são ortogonais. Uma versão sintética e breve desta mesma ideia é: \overline{B C}\parallel\overline{D E} e \overline{A B}\perp\overline{B C} implicam \overline{A B}\perp\overline{D E}.

Resposta

As retas \overleftrightarrow{A B} e \overleftrightarrow{D E} são ortogonais.

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