Considere a transformação linear D: P_{3}(\mathbb{R}) \rightarrow P_{2}(\mathbb{R}), definida por D\left(a+b x+c x^{2}+d x^{3}\right)=b+2 c x+3 d x^{2}. Sejam \mathcal{B}=\left\{1, x, x^{2}, x^{3}\right\} e \mathcal{C}=\left\{1, x, x^{2}\right\} bases de P_{3}(\mathbb{R}) e P_{2}(\mathbb{R}), respectivamente.
(a) Encontre a matriz de D relativa às bases \mathcal{B} e \mathcal{C}.
(b) Calculc D\left(5-x+2 x^{3}\right).
Passo 1
O que o enunciado pede e quais dados temos:
Está dada a transformação linear D: P_{3}(\mathbb{R}) \to P_{2}(\mathbb{R}) definida por
As bases são \mathcal{B}=\{1,x,x^{2},x^{3}\} de P_{3}(\mathbb{R}) e \mathcal{C}=\{1,x,x^{2}\} de P_{2}(\mathbb{R}).
Perguntas:
(a) Encontrar a matriz de D relativa às bases \mathcal{B} (colunas) e \mathcal{C} (linhas).
(b) Calcular D\bigl(5-x+2x^{3}\bigr).
Passo 2
Como construir a matriz de uma transformação linear relativa a bases:
Regra prática: a j-ésima coluna da matriz de D corresponde às coordenadas de D(b_j) na base de chegada, onde b_j é o j-ésimo vetor da base do domínio.
Aqui, os vetores de \mathcal{B} (na ordem dada) são 1, x, x^{2}, x^{3}. Para cada um calculamos D(\text{esse vetor}) e expressamos o resultado em coordenadas na base \mathcal{C}=\{1,x,x^{2}\}.
Lembrete sobre coordenadas: um polinômio \alpha+\beta x+\gamma x^{2}\in P_{2}(\mathbb{R}) tem coordenadas \begin{pmatrix}\alpha\\[4pt]\beta\\[4pt]\gamma\end{pmatrix} na base \mathcal{C} (primeiro coeficiente do termo constante, depois de x, depois de x^{2}).]
Passo 3
Calcular as imagens dos vetores da base \mathcal{B} usando a fórmula dada:
Para 1 (isto é a=1,b=0,c=0,d=0):
D(1)=0.
As coordenadas de D(1) na base \mathcal{C} são
\begin{pmatrix}0\\[4pt]0\\[4pt]0\end{pmatrix}.
Para x (isto é a=0,b=1,c=0,d=0):
D(x)=1.
As coordenadas de D(x) na base \mathcal{C} são
\begin{pmatrix}1\\[4pt]0\\[4pt]0\end{pmatrix}.
Para x^{2} (isto é a=0,b=0,c=1,d=0):
D(x^{2})=2x.
As coordenadas de D(x^{2}) na base \mathcal{C} são
\begin{pmatrix}0\\[4pt]2\\[4pt]0\end{pmatrix}.
Para x^{3} (isto é a=0,b=0,c=0,d=1):
D(x^{3})=3x^{2}.
As coordenadas de D(x^{3}) na base \mathcal{C} são
\begin{pmatrix}0\\[4pt]0\\[4pt]3\end{pmatrix}.]
Passo 4
Montar a matriz de D relativa às bases \mathcal{B} e \mathcal{C}:
Colocando as coordenadas encontradas como colunas, na ordem dos vetores de \mathcal{B}, obtemos a matriz M_{\,\mathcal{C}\leftarrow\mathcal{B}}(D) (matriz que envia coordenadas em \mathcal{B} para coordenadas em \mathcal{C}):
Explicação rápida: primeira coluna = coordenadas de D(1), segunda coluna = coordenadas de D(x), etc. A matriz é 3\times4, pois o espaço de chegada tem dimensão 3 e o domínio dimensão 4.]
Passo 5
Calcular D\bigl(5-x+2x^{3}\bigr) diretamente pela fórmula (mais simples) e mostrar também como seria por multiplicação matricial:
Usando a definição: para a+b x+c x^{2}+d x^{3} vale D(\cdot)=b+2c x+3d x^{2}.
No polinômio dado, os coeficientes são a=5,\;b=-1,\;c=0,\;d=2. Substituindo: