Diagonalize a matriz abaixo, se possível, cujos autovalores são \lambda=0,1.
A=\left[\begin{array}{ccc} 0 & -1 & -1 \\ 1 & 2 & 1 \\ -1 & -1 & 0 \end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede para diagonalizar a matriz (se possível) sabendo que os autovalores são \lambda=0 e \lambda=1. A matriz dada é
A=\left[\begin{array}{ccc} 0 & -1 & -1 \\\\ 1 & 2 & 1 \\\\ -1 & -1 & 0 \end{array}\right].
Informações relevantes que temos do enunciado:
  • Os autovalores fornecidos são \lambda=0 e \lambda=1.
  • A matriz A é 3\times3.
  • Para diagonalizar precisamos encontrar uma base de \mathbb{R}^3 formada por autovetores de A. Ou seja, precisamos achar vetores linearmente independentes que spanem os espaços próprios de \lambda=0 e \lambda=1.

Passo 2

Encontrar o(s) autovetor(es) associado(s) a [\lambda=0). Para \lambda=0 resolvemos A x = 0, isto é, buscamos o núcleo de A.
Escrevendo o sistema A x = 0 com x=(x_1,x_2,x_3)^{T}:
\begin{cases} 0\cdot x_1 - x_2 - x_3 = 0,\\[4pt] x_1 + 2x_2 + x_3 = 0,\\[4pt] - x_1 - x_2 + 0\cdot x_3 = 0. \end{cases}
Da primeira equação segue
- x_2 - x_3 = 0 \quad\Rightarrow\quad x_2 = -x_3.
Da terceira equação segue
- x_1 - x_2 = 0 \quad\Rightarrow\quad x_1 = -x_2.
Substituindo x_1=-x_2\] em segunda equação: \[-x_2 + 2x_2 + x_3 = 0 \quad\Rightarrow\quad x_2 + x_3 = 0 \quad\Rightarrow\quad x_3 = -x_2,\] o que é consistente com \(x_2=-x_3. Portanto podemos tomar x_2=t como parâmetro; então
x_1 = -t,\qquad x_2 = t,\qquad x_3 = -t.
Um autovetor correspondente a \lambda=0 é, por exemplo,
v_3 = \begin{pmatrix}-1\\[2pt]1\\[2pt]-1\end{pmatrix}.
O espaço próprio de \lambda=0 tem dimensão \dim\ker(A)=1.]

Passo 3

Encontrar o(s) autovetor(es) associado(s) a \lambda=1. Para \lambda=1 resolvemos (A-I)x=0.
Calcule A-I:
A-I=\left[\begin{array}{ccc} -1 & -1 & -1 \\\\ 1 & 1 & 1 \\\\ -1 & -1 & -1 \end{array}\right].
As equações associadas são todas equivalentes à única equação
- x_1 - x_2 - x_3 = 0 \quad\Longleftrightarrow\quad x_1 + x_2 + x_3 = 0.
Logo o espaço próprio de \lambda=1 é o plano \{x\in\mathbb{R}^3 : x_1+x_2+x_3=0\}, que tem dimensão 2. Precisamos escolher dois autovetores linearmente independentes desse plano.
Duas escolhas simples e independentes são
v_1=\begin{pmatrix}1\\[2pt]-1\\[2pt]0\end{pmatrix}, \qquad v_2=\begin{pmatrix}1\\[2pt]0\\[2pt]-1\end{pmatrix},
pois em ambos 1+(-1)+0=0 e 1+0+(-1)=0, e v_1 e v_2 não são múltiplos entre si.]

Passo 4

Verificar a condição de diagonalizabilidade. Uma matriz 3\times3 é diagonalizável sobre \mathbb{R} se a soma das dimensões dos espaços próprios for 3. Aqui temos:
  • dimensão do espaço próprio de \lambda=0 é 1,
  • dimensão do espaço próprio de \lambda=1 é 2.
Somando, 1+2=3. Portanto existe uma base de \mathbb{R}^3 formada por autovetores de A, logo A é diagonalizável.

Passo 5

Construir a matriz P cujas colunas são autovetores escolhidos e a matriz diagonal D com os autovalores correspondentes na mesma ordem. Vou colocar primeiro os dois vetores de \lambda=1 e por último o vetor de \lambda=0. Assim:
P=\left[\begin{array}{ccc} 1 & 1 & -1 \\\\ -1 & 0 & 1 \\\\ 0 & -1 & -1 \end{array}\right], \qquad D=\left[\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\\\ 0 & 1 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right].
Aqui a coluna 1 é v_1, coluna 2 é v_2 e coluna 3 é v_3. Para ter certeza que P é invertível calculei o determinante:
\det(P)=-1\neq 0,
portanto P é invertível.

Passo 6

Calcular P^{-1} explicitamente (útil para escrever a diagonalização na forma A=PDP^{-1}). Para a P escolhida obtém-se
P^{-1}=\left[\begin{array}{ccc} -1 & -2 & -1 \\\\ 1 & 1 & 0 \\\\ -1 & -1 & -1 \end{array}\right].
Verificação rápida: P^{-1}P=I_3.

Passo 7

Escrever a diagonalização final. Como P é invertível e as colunas de P são autovetores correspondentes às entradas de D, vale a igualdade
A = P\,D\,P^{-1}.

Resposta

A = P\,D\,P^{-1},\quad\text{com}\quad P=\left[\begin{array}{ccc} 1 & 1 & -1 \\\\ -1 & 0 & 1 \\\\ 0 & -1 & -1 \end{array}\right], \quad D=\left[\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\\\ 0 & 1 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right], \quad P^{-1}=\left[\begin{array}{ccc} -1 & -2 & -1 \\\\ 1 & 1 & 0 \\\\ -1 & -1 & -1 \end{array}\right].

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