Os autovalores fornecidos são \lambda=0 e \lambda=1.
A matriz A é 3\times3.
Para diagonalizar precisamos encontrar uma base de \mathbb{R}^3 formada por autovetores de A. Ou seja, precisamos achar vetores linearmente independentes que spanem os espaços próprios de \lambda=0 e \lambda=1.
Passo 2
Encontrar o(s) autovetor(es) associado(s) a [\lambda=0). Para \lambda=0 resolvemos A x = 0, isto é, buscamos o núcleo de A.
Escrevendo o sistema A x = 0 com x=(x_1,x_2,x_3)^{T}:
Substituindo x_1=-x_2\] em segunda equação:
\[-x_2 + 2x_2 + x_3 = 0 \quad\Rightarrow\quad x_2 + x_3 = 0 \quad\Rightarrow\quad x_3 = -x_2,\]
o que é consistente com \(x_2=-x_3. Portanto podemos tomar x_2=t como parâmetro; então
x_1 = -t,\qquad x_2 = t,\qquad x_3 = -t.
Um autovetor correspondente a \lambda=0 é, por exemplo,
Logo o espaço próprio de \lambda=1 é o plano \{x\in\mathbb{R}^3 : x_1+x_2+x_3=0\}, que tem dimensão 2. Precisamos escolher dois autovetores linearmente independentes desse plano.
pois em ambos 1+(-1)+0=0 e 1+0+(-1)=0, e v_1 e v_2 não são múltiplos entre si.]
Passo 4
Verificar a condição de diagonalizabilidade. Uma matriz 3\times3 é diagonalizável sobre \mathbb{R} se a soma das dimensões dos espaços próprios for 3. Aqui temos:
dimensão do espaço próprio de \lambda=0 é 1,
dimensão do espaço próprio de \lambda=1 é 2.
Somando, 1+2=3. Portanto existe uma base de \mathbb{R}^3 formada por autovetores de A, logo A é diagonalizável.
Passo 5
Construir a matriz P cujas colunas são autovetores escolhidos e a matriz diagonal D com os autovalores correspondentes na mesma ordem. Vou colocar primeiro os dois vetores de \lambda=1 e por último o vetor de \lambda=0. Assim: