Num triângulo isósceles A B C, o ângulo do vértice A vale \frac{1}{10} da soma dos ângulos externos em B e C. Sendo \overline{B C} a base do triângulo, determine o ângulo \hat{A}.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa:
  • Temos um triângulo isósceles A B C.
  • A aresta \overline{B C} é a base do triângulo (ou seja, os lados iguais são \overline{A B} e \overline{A C}).
  • O ângulo do vértice A, que vou denotar por \hat{A}, vale \frac{1}{10} da soma dos ângulos externos em B e C.
  • Pergunta: determinar o valor de \hat{A}.

Passo 2

Como \overline{B C} é a base de um triângulo isósceles A B C, os ângulos da base são iguais. Logo:
\hat{B}=\hat{C}.
Explicando: os ângulos na base são os ângulos nos vértices opostos aos lados iguais; em um isósceles esses dois ângulos têm mesma medida.

Passo 3

Vamos relacionar os ângulos externos com os ângulos internos. O ângulo externo em B é suplementar ao ângulo interno \hat{B}, portanto sua medida é
180^\circ-\hat{B}.
Analogamente, o ângulo externo em C tem medida
180^\circ-\hat{C}.
A soma dos dois ângulos externos é, então,
(180^\circ-\hat{B})+(180^\circ-\hat{C})=360^\circ-(\hat{B}+\hat{C}).

Passo 4

Usamos a soma dos ângulos internos do triângulo. Em qualquer triângulo vale
\hat{A}+\hat{B}+\hat{C}=180^\circ.
Portanto \hat{B}+\hat{C}=180^\circ-\hat{A}. Substituindo na expressão da soma dos ângulos externos obtemos:
\text{soma dos externos em }B\text{ e }C = 360^\circ-(180^\circ-\hat{A})=180^\circ+\hat{A}.

Passo 5

Agora aplicamos a condição do enunciado: \hat{A} vale \tfrac{1}{10} dessa soma. Escrevendo a equação:
\hat{A}=\frac{1}{10}\bigl(180^\circ+\hat{A}\bigr).
Multiplicando ambos os lados por 10:
10\hat{A}=180^\circ+\hat{A}.
Subtraindo \hat{A} dos dois lados:
9\hat{A}=180^\circ.
Dividindo por 9:
\hat{A}=20^\circ.

Passo 6

Verificação rápida para ficar tranquilo: se \hat{A}=20^\circ, então \hat{B}+\hat{C}=160^\circ e como \hat{B}=\hat{C} temos \hat{B}=\hat{C}=80^\circ. Os ângulos externos valem 180^\circ-80^\circ=100^\circ cada, soma 200^\circ, e \tfrac{1}{10}\cdot200^\circ=20^\circ, que é \hat{A}. Tudo consistente.

Resposta

\hat{A}=20^\circ

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