Mostre que num triângulo A B C qualquer, o ângulo oposto a \overline{B C} formado pelas bissetrizes dos ângulos internos em B e C é igual ao suplemento do complemento da metade do ângulo do vértice A.
Passo 1
O enunciado dá um triângulo A B C qualquer e pede para mostrar que o ângulo, do lado oposto a \overline{B C}, formado pelas bissetrizes internas dos ângulos em B e em C tem uma medida específica. Informações e objetivo explícitos:
Temos as bissetrizes internas dos ângulos em B e em C. Essas duas bissetrizes se cortam em um ponto que podemos chamar de I.
O ângulo pedido é o ângulo formado por essas duas bissetrizes, do lado oposto à aresta \overline{B C}. Esse ângulo é justamente \angle B I C.
O objetivo é mostrar que esse ângulo \angle B I C é igual ao suplemento do complemento da metade do ângulo do vértice A. Em linguagem matemática, provar que \angle B I C = suplemento(complemento(\tfrac{1}{2}\angle A)).
Passo 2
Definição útil e consequências diretas das bissetrizes (aqui a gente mastiga o conceito): uma bissetriz de um ângulo divide esse ângulo em duas partes iguais. Logo, se I é o ponto de interseção das bissetrizes internas de B e de C, então as medidas dos ângulos nas proximidades de B e C satisfazem:
\angle I B C = \angle C B I = \tfrac{1}{2}\angle B
e
\angle I C B = \angle B C I = \tfrac{1}{2}\angle C.
Explicando devagar: a bissetriz em B produz dois ângulos iguais, cada um valendo metade de \angle B; o mesmo para C.
Passo 3
Agora olhamos para o triângulo formado pelos pontos B, I e C. Em qualquer triângulo, a soma das medidas dos três ângulos internos é 180^\circ. Aplicando isso ao triângulo B I C obtemos:
\angle B I C + \angle I B C + \angle I C B = 180^\circ.
Substituindo as igualdades do passo anterior temos:
\angle B I C + \tfrac{1}{2}\angle B + \tfrac{1}{2}\angle C = 180^\circ.
Passo 4
Isolamos \angle B I C na equação acima:
\angle B I C = 180^\circ - \tfrac{1}{2}\angle B - \tfrac{1}{2}\angle C.
Colocamos em evidência a meia-soma:
\angle B I C = 180^\circ - \tfrac{1}{2}(\angle B + \angle C).
Agora usamos a soma dos ângulos do triângulo A B C: \angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ. Daí \angle B + \angle C = 180^\circ - \angle A. Substituindo:
\angle B I C = 180^\circ - \tfrac{1}{2}\bigl(180^\circ - \angle A\bigr).
Passo 5
Continuando a simplificação passo a passo (não pule cálculo!):
\angle B I C = 180^\circ - \tfrac{1}{2}\cdot 180^\circ + \tfrac{1}{2}\angle A.
Como \tfrac{1}{2}\cdot 180^\circ = 90^\circ, temos
\angle B I C = 180^\circ - 90^\circ + \tfrac{1}{2}\angle A = 90^\circ + \tfrac{1}{2}\angle A.
Portanto a medida de \angle B I C é 90^\circ + \tfrac{1}{2}\angle A.
Passo 6
Para conectar com a frase do enunciado — "suplemento do complemento da metade do ângulo do vértice A" — calculamos explicitamente essas duas operações sobre \tfrac{1}{2}\angle A:
O complemento de \tfrac{1}{2}\angle A é 90^\circ - \tfrac{1}{2}\angle A.
O suplemento desse número é 180^\circ - \bigl(90^\circ - \tfrac{1}{2}\angle A\bigr) = 90^\circ + \tfrac{1}{2}\angle A.
Isso coincide com o resultado que obtivemos para \angle B I C. Conclusão: \angle B I C é exatamente o suplemento do complemento da metade de \angle A.
Passo 7
Um exemplo numérico para fixar (bem prático): suponha \angle A=60^\circ. Então \tfrac{1}{2}\angle A=30^\circ. O complemento é 90^\circ-30^\circ=60^\circ. O suplemento desse complemento é 180^\circ-60^\circ=120^\circ. E pelo resultado geral \angle B I C = 90^\circ + \tfrac{1}{2}\angle A = 90^\circ + 30^\circ = 120^\circ. Tudo bate direitinho — é sempre assim, para qualquer triângulo.