Mostre que o lado oposto ao ângulo obtuso de um triângulo obtusângulo é maior que cada um dos outros lados.

Passo 1

Enunciado e dados fornecidos (em linguagem clara e organizada): temos um triângulo obtusângulo, ou seja, um triângulo em que existe um ângulo maior que 90^\circ. Denotemos o triângulo por \triangle ABC e usemos a notação usual de geometria de triângulos:
a=BC,\qquad b=AC,\qquad c=AB,
onde a, b e c são os comprimentos dos lados opostos aos vértices A, B e C, respectivamente. Suponha que o ângulo obtuso seja \angle C, ou seja,
\angle C>90^\circ.
O que o enunciado pede: mostrar que o lado oposto ao ângulo obtuso (ou seja, o lado c, oposto a \angle C) é maior que cada um dos outros lados; formalmente, provar que
c>a\quad\text{e}\quad c>b.

Passo 2

Escolha do método e apresentação da ferramenta principal: a forma mais direta é usar a Lei dos Cossenos. Vou explicar o que é essa lei, o que cada símbolo significa e por que ela é útil aqui.
A Lei dos Cossenos relaciona os comprimentos dos lados de um triângulo com o cosseno de um de seus ângulos. Para o nosso triângulo \triangle ABC a lei diz:
c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos C.
Explicação das variáveis:
  • a é o comprimento do lado oposto ao vértice A (ou seja, BC);
  • b é o comprimento do lado oposto ao vértice B (ou seja, AC);
  • c é o comprimento do lado oposto ao vértice C (ou seja, AB);
  • C é a medida do ângulo \angle C no vértice C;
  • \cos C é a função cosseno do ângulo C.
Por que usar essa lei? Porque ela expressa c^{2} em função de a, b e \cos C. Quando C é obtuso, \cos C é negativo, e isso vai tornar evidente que c^{2} é maior que a^{2}+b^{2}, o que permitirá comparar c com a e b.

Passo 3

Derivação curta (didática) da Lei dos Cossenos — para você entender de onde vem a fórmula: coloque o vértice C na origem de um sistema de coordenadas, alinhe o segmento CA ao eixo x positivo e represente os pontos por coordenadas:
C=(0,0),\qquad A=(b,0).
O ponto B tem coordenadas (a\cos C,\;a\sin C) porque o vetor \overrightarrow{CB} tem magnitude a e faz ângulo C com o eixo x. O comprimento c=AB é a distância entre A e B, então
c^{2}=(\text{diferença em }x)^{2}+(\text{diferença em }y)^{2}=(a\cos C-b)^{2}+(a\sin C)^{2}.çç
Expandindo e usando a identidade trigonométrica \cos^{2}C+\sin^{2}C=1, obtemos
c^{2}=a^{2}\cos^{2}C-2ab\cos C+b^{2}+a^{2}\sin^{2}C
c^{2}=a^{2}(\cos^{2}C+\sin^{2}C)+b^{2}-2ab\cos C=a^{2}+b^{2}-2ab\cos C,
que é exatamente a Lei dos Cossenos. Assim você já tem a fórmula fundamentada.

Passo 4

Use agora a hipótese de que \angle C é obtuso. Propriedade trigonométrica importante (expliquei por que isso vale): para ângulos em graus, se \theta\in(90^\circ,180^\circ) então \cos\theta<0. Logo, com \angle C>90^\circ temos
\cos C<0.
Substituindo na Lei dos Cossenos, o termo -2ab\cos C é positivo (porque -2ab é negativo multiplicado por \cos C negativo dá positivo), portanto
c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos C>a^{2}+b^{2}.
Dessa desigualdade segue, em particular, que
c^{2}>a^{2}\qquad\text{e}\qquad c^{2}>b^{2},
pois a^{2}+b^{2}>a^{2} e a^{2}+b^{2}>b^{2}.

Passo 5

Passo final lógico: passar de desigualdade entre quadrados para desigualdade entre comprimentos. Como a, b e c são comprimentos positivos, a função raiz quadrada é crescente no conjunto dos números não-negativos; portanto de c^{2}>a^{2} obtemos c>a, e de c^{2}>b^{2} obtemos c>b. Outra forma rápida de ver: se x e y são positivos e x^{2}>y^{2} então multiplicando os dois lados por \frac{1}{x+y}>0 x-y>0, logo x>y.
Aplicando isso ao caso, concluímos
c>a\quad\text{e}\quad c>b.

Resposta

O lado oposto ao ângulo obtuso é o maior lado do triângulo; em notação, se \angle C>90^\circ então c>a e c>b.

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