Em um triângulo retângulo
, com ângulo reto em
, traça-se a altura
relativa à hipotenusa
. Se os catetos medem
e
:
(a) Calcule a medida da hipotenusa
.
(b) Utilizando a semelhança entre os triângulos
e
, calcule a medida da altura
.
(a) Calcule a medida da hipotenusa
(b) Utilizando a semelhança entre os triângulos
Passo 1
O enunciado fornece e pede o seguinte:
- Dados fornecidos:
- Triângulo retângulo
com ângulo reto em . - Foi traçada a altura
relativa à hipotenusa , ou seja, e pertence a . - Medidas dos catetos:
e .
- Triângulo retângulo
- Perguntas:
(a) Calcular a medida da hipotenusa.
(b) Utilizando a semelhança entre os triângulose , calcular a medida da altura .
Passo 2
Resolvendo (a): usar o Teorema de Pitágoras. Explicação do teorema:
- Em um triângulo retângulo, a soma dos quadrados dos comprimentos dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa.
- Variáveis:
e são os catetos e é a hipotenusa. A fórmula é
Agora aplico os valores dados:
Calculo passo a passo:
Extraio a raiz quadrada (raiz de
é
):
Portanto
.
Passo 3
Preparação para (b): lembrar a propriedade da altura relativa à hipotenusa e a semelhança entre triângulos.
- Observação geométrica importante:
é perpendicular a , então o ângulo é reto (isto é, ). - O triângulo
tem . O triângulo tem . Além disso, ambos têm o ângulo em comum. - Conclusão: os triângulos
e são semelhantes (dois triângulos retângulos que têm um ângulo agudo igual são semelhantes).
Passo 4
Determinar correspondência de vértices e lados na semelhança:
- Como os ângulos correspondentes são
(em ) ↔ (em ), ↔ e ↔ , a correspondência de lados é: -
(lado oposto a em ) corresponde a (lado oposto a em ); -
(lado oposto a em ) corresponde a (lado oposto a em ).
-
- Pela semelhança, as razões entre lados correspondentes são iguais. Assim posso escrever a igualdade de razões que interessa:
Passo 5
Isolar
na relação e calcular numericamente:
- A partir de
, obtemos
- Substituindo os valores
, e :
- Converter para número decimal (usar vírgula como separador decimal):
Resposta
(a)
(b)
(b)