Em um triângulo retângulo A B C, com ângulo reto em A, traça-se a altura A D relativa à hipotenusa B C. Se os catetos medem A B=6 \mathrm{~cm} e A C=8 \mathrm{~cm} :
(a) Calcule a medida da hipotenusa B C.
(b) Utilizando a semelhança entre os triângulos A B C e D B A, calcule a medida da altura A D.

Passo 1

O enunciado fornece e pede o seguinte:
  • Dados fornecidos:
    • Triângulo retângulo A B C com ângulo reto em A.
    • Foi traçada a altura A D relativa à hipotenusa B C, ou seja, A D\perp B C e D pertence a B C.
    • Medidas dos catetos: A B=6\\ \text{cm} e A C=8\\ \text{cm}.
  • Perguntas:
    (a) Calcular a medida da hipotenusa B C.
    (b) Utilizando a semelhança entre os triângulos A B C e D B A, calcular a medida da altura A D.

Passo 2

Resolvendo (a): usar o Teorema de Pitágoras. Explicação do teorema:
  • Em um triângulo retângulo, a soma dos quadrados dos comprimentos dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa.
  • Variáveis: A B e A C são os catetos e B C é a hipotenusa. A fórmula é
B C^{2}=A B^{2}+A C^{2}.
Agora aplico os valores dados:
B C^{2}=6^{2}+8^{2}.
Calculo passo a passo:
6^{2}=36,\qquad 8^{2}=64,
B C^{2}=36+64=100.
Extraio a raiz quadrada (raiz de 100 é 10):
B C=\sqrt{100}=10.
Portanto B C=10\\ \text{cm}.

Passo 3

Preparação para (b): lembrar a propriedade da altura relativa à hipotenusa e a semelhança entre triângulos.
  • Observação geométrica importante: A D é perpendicular a B C, então o ângulo \angle A D B é reto (isto é, 90^\circ).
  • O triângulo A B C tem \angle A=90^\circ. O triângulo D B A tem \angle D=90^\circ. Além disso, ambos têm o ângulo em B comum.
  • Conclusão: os triângulos A B C e D B A são semelhantes (dois triângulos retângulos que têm um ângulo agudo igual são semelhantes).

Passo 4

Determinar correspondência de vértices e lados na semelhança:
  • Como os ângulos correspondentes são A (em A B C) ↔ D (em D B A), B B e C A, a correspondência de lados é:
    • A C (lado oposto a B em A B C) corresponde a A D (lado oposto a B em D B A);
    • B C (lado oposto a A em A B C) corresponde a B A (lado oposto a D em D B A).
  • Pela semelhança, as razões entre lados correspondentes são iguais. Assim posso escrever a igualdade de razões que interessa:
\frac{A C}{A D}=\frac{B C}{B A}.

Passo 5

Isolar A D na relação e calcular numericamente:
  • A partir de \dfrac{A C}{A D}=\dfrac{B C}{B A}, obtemos
A D=\frac{A C\cdot B A}{B C}.
  • Substituindo os valores A B=6, A C=8 e B C=10:
A D=\frac{8\cdot 6}{10}=\frac{48}{10}=\frac{24}{5}.
  • Converter para número decimal (usar vírgula como separador decimal):
A D=\frac{24}{5}=4,8\\ \text{cm}.

Resposta

(a) B C=10\\ \text{cm}
(b) A D=\dfrac{24}{5}\\ \text{cm}=4,8\\ \text{cm}

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