Um edifício projeta uma sombra de 30 metros no mesmo instante em que um poste vertical de 12 metros de altura projeta uma sombra de 4 metros. Qual é a altura do edifício? Considere que o terreno é plano e os raios solares são paralelos.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
-
O enunciado fornece:
- A sombra do edifício tem comprimento
. - Um poste vertical de altura
projeta, no mesmo instante, uma sombra de comprimento . - Suposições: o terreno é plano e os raios solares são paralelos.
- A sombra do edifício tem comprimento
-
O enunciado pede:
- Determinar a altura do edifício.
Passo 2
Defino variáveis para organizar a resolução.
- Seja
a altura do edifício (é o que queremos encontrar). - A sombra do edifício é
. - Para o poste, a altura é
e a sombra é .
Ou seja, temos as quantidades:
Passo 3
Explico por que podemos relacionar essas quantidades: formação de triângulos semelhantes.
- Cada objeto (edifício e poste) com sua sombra forma um triângulo retângulo, sendo que um ângulo é o ângulo de incidência dos raios solares sobre o solo.
- Como os raios solares são paralelos, esse ângulo de incidência é o mesmo para o triângulo do edifício e para o triângulo do poste.
- Assim, os dois triângulos têm dois ângulos iguais (o ângulo reto com o chão e o ângulo formado pelo raio solar), logo são triângulos semelhantes (critério Ângulo-Ângulo).
- Para triângulos semelhantes, os comprimentos correspondentes são proporcionais: razão entre alturas é igual à razão entre sombras.
Passo 4
Escrevo a proporção que vem da similaridade dos triângulos.
As alturas correspondem às sombras, então vale:
Aqui cada termo está claro:
-
é a altura do edifício; -
é o comprimento da sombra do edifício; -
é a altura do poste; -
é o comprimento da sombra do poste.
Passo 5
Resolvo a proporção passo a passo.
Calculo primeiro a razão do poste:
Substituo na equação:
Multiplico ambos os lados por
para isolar
:
Faço a multiplicação:
Passo 6
Interpretação e verificação rápida (para ficar mais confiante).
- A razão altura/sombra do poste é
. - A razão altura/sombra do edifício com
é , igual à do poste, portanto consistente com os raios solares paralelos e triângulos semelhantes.