Um edifício projeta uma sombra de 30 metros no mesmo instante em que um poste vertical de 12 metros de altura projeta uma sombra de 4 metros. Qual é a altura do edifício? Considere que o terreno é plano e os raios solares são paralelos.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • O enunciado fornece:
    • A sombra do edifício tem comprimento \,30\\ \text{m}.
    • Um poste vertical de altura \,12\\ \text{m} projeta, no mesmo instante, uma sombra de comprimento \,4\\ \text{m}.
    • Suposições: o terreno é plano e os raios solares são paralelos.
  • O enunciado pede:
    • Determinar a altura do edifício.

Passo 2

Defino variáveis para organizar a resolução.
  • Seja \,H a altura do edifício (é o que queremos encontrar).
  • A sombra do edifício é \,30\\ \text{m}.
  • Para o poste, a altura é \,12\\ \text{m} e a sombra é \,4\\ \text{m}.
Ou seja, temos as quantidades:
\text{edifício: } \text{altura } = H,\quad \text{sombra } = 30í
\text{poste: } \text{altura } = 12,\quad \text{sombra } = 4.

Passo 3

Explico por que podemos relacionar essas quantidades: formação de triângulos semelhantes.
  • Cada objeto (edifício e poste) com sua sombra forma um triângulo retângulo, sendo que um ângulo é o ângulo de incidência dos raios solares sobre o solo.
  • Como os raios solares são paralelos, esse ângulo de incidência é o mesmo para o triângulo do edifício e para o triângulo do poste.
  • Assim, os dois triângulos têm dois ângulos iguais (o ângulo reto com o chão e o ângulo formado pelo raio solar), logo são triângulos semelhantes (critério Ângulo-Ângulo).
  • Para triângulos semelhantes, os comprimentos correspondentes são proporcionais: razão entre alturas é igual à razão entre sombras.

Passo 4

Escrevo a proporção que vem da similaridade dos triângulos.
As alturas correspondem às sombras, então vale:
\frac{H}{30} = \frac{12}{4}.
Aqui cada termo está claro:
  • \,H é a altura do edifício;
  • \,30 é o comprimento da sombra do edifício;
  • \,12 é a altura do poste;
  • \,4 é o comprimento da sombra do poste.

Passo 5

Resolvo a proporção passo a passo.
Calculo primeiro a razão do poste:
\frac{12}{4}=3.
Substituo na equação:
\frac{H}{30}=3.
Multiplico ambos os lados por \,30 para isolar \,H:
H = 30\cdot 3.
Faço a multiplicação:
H = 90.

Passo 6

Interpretação e verificação rápida (para ficar mais confiante).
  • A razão altura/sombra do poste é \dfrac{12}{4}=3.
  • A razão altura/sombra do edifício com H=90 é \dfrac{90}{30}=3, igual à do poste, portanto consistente com os raios solares paralelos e triângulos semelhantes.

Resposta

90\\ \text{m}

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