Considere dois triângulos semelhantes,
e
. A área do triângulo
é
e a área do triângulo
é
. Se o perímetro de
é 20 cm , qual é o perímetro de
?
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
- Área do triângulo
: . - Área do triângulo
: . - Perímetro do triângulo
: . - Pergunta: qual é o perímetro do triângulo
(ou seja, encontrar )?
Passo 2
Explicação didática da relação entre triângulos semelhantes e escalas:
- Se dois triângulos são semelhantes, existe um fator de escala
que relaciona qualquer comprimento linear correspondente nos triângulos (por exemplo, lados). Definimos
- O perímetro é soma de comprimentos lineares, então o perímetro escala como
. Em fórmulas:
- A área é uma grandeza que depende do quadrado de um comprimento linear (área
comprimento ), logo a razão das áreas é o quadrado do fator de escala:
(Essa última fórmula vem da ideia de que, se todos os comprimentos são multiplicados por
, a área, sendo produto de duas dimensões lineares, é multiplicada por
.)
Passo 3
Calcular o fator de escala
usando as áreas dadas.
Primeiro a razão das áreas:
Pela relação
, temos
Tomando a raiz quadrada positiva (os comprimentos são positivos),
Passo 4
Usar
para encontrar o perímetro
.
Como
, resulta
Passo 5
Checagem rápida por sentido físico: área quadruplicou (de
para
), então o fator linear dobraria — isso é coerente com
e perímetro dobrando de
para
. Vai dar certo na prova!