Considere dois triângulos semelhantes, T_{1} e T_{2}. A área do triângulo T_{1} é 36 \mathrm{~cm}^{2} e a área do triângulo T_{2} é 144 \mathrm{~cm}^{2}. Se o perímetro de T_{1} é 20 cm , qual é o perímetro de T_{2} ?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Área do triângulo T_{1}: A_{1}=36\\ \mathrm{cm}^{2}.
  • Área do triângulo T_{2}: A_{2}=144\\ \mathrm{cm}^{2}.
  • Perímetro do triângulo T_{1}: P_{1}=20\\ \mathrm{cm}.
  • Pergunta: qual é o perímetro do triângulo T_{2} (ou seja, encontrar P_{2})?

Passo 2

Explicação didática da relação entre triângulos semelhantes e escalas:
  • Se dois triângulos são semelhantes, existe um fator de escala k que relaciona qualquer comprimento linear correspondente nos triângulos (por exemplo, lados). Definimos
k=\frac{\text{comprimento correspondente em }T_{2}}{\text{comprimento correspondente em }T_{1}}.
  • O perímetro é soma de comprimentos lineares, então o perímetro escala como k. Em fórmulas:
\frac{P_{2}}{P_{1}}=k.
  • A área é uma grandeza que depende do quadrado de um comprimento linear (área \sim comprimento ^2), logo a razão das áreas é o quadrado do fator de escala:
\frac{A_{2}}{A_{1}}=k^{2}.
(Essa última fórmula vem da ideia de que, se todos os comprimentos são multiplicados por k, a área, sendo produto de duas dimensões lineares, é multiplicada por k\cdot k=k^{2}.)

Passo 3

Calcular o fator de escala k usando as áreas dadas.
Primeiro a razão das áreas:
\frac{A_{2}}{A_{1}}=\frac{144}{36}=4.
Pela relação \dfrac{A_{2}}{A_{1}}=k^{2}, temos
k^{2}=4.
Tomando a raiz quadrada positiva (os comprimentos são positivos),
k=\sqrt{4}=2.

Passo 4

Usar k para encontrar o perímetro P_{2}.
Como \dfrac{P_{2}}{P_{1}}=k, resulta
P_{2}=k\cdot P_{1}=2\cdot 20=40\\ \mathrm{cm}.

Passo 5

Checagem rápida por sentido físico: área quadruplicou (de 36 para 144), então o fator linear dobraria — isso é coerente com k=2 e perímetro dobrando de 20 para 40. Vai dar certo na prova!

Resposta

40\\ \mathrm{cm}

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