1. Um triângulo reto de área 38 u.a. tem como catetos os vetores \vec{u}=(a, b, c) e \vec{v}=(1,0,1). Sabendo que os dois vetores dados são coplanares com o vetor \vec{w}=(1,3,2), determine o vetor \vec{u}.

Passo 1

O enunciado dá um triângulo reto em \mathbb{R}^3 de área 38 (unidades de área), em que os catetos são os vetores \vec u=(a,b,c) e \vec v=(1,0,1). Além disso, \vec u e \vec v são coplanares com \vec w=(1,3,2). Para resolver, vamos usar:
  1. Coplanaridade em \mathbb{R}^3 implica que \vec u está no espaço gerado por \vec v e \vec w.
  2. O fato de serem catetos de triângulo reto dá \vec u\cdot\vec v=0.
  3. A área do triângulo \tfrac12\|\vec u\times\vec v\|=38, logo \|\vec u\times\vec v\|=76.

Passo 2

Pela coplanaridade, existem escalares \alpha,\beta tais que
\vec u = \alpha\,\vec v \;+\;\beta\,\vec w =\alpha\,(1,0,1)+\beta\,(1,3,2) =(\alpha+\beta,\;3\beta,\;\alpha+2\beta).

Passo 3

Como \vec u é perpendicular a \vec v, impomos
\vec u\cdot\vec v =(\alpha+\beta)\cdot1 + (3\beta)\cdot0 + (\alpha+2\beta)\cdot1 =2\alpha+3\beta=0 \quad\Longrightarrow\quad \alpha=-\tfrac{3}{2}\beta.

Passo 4

Calculamos o produto vetorial
\vec u\times\vec v =\bigl(3\beta,\;\beta,\;-3\beta\bigr),
cuja norma é
\|\vec u\times\vec v\| =|\beta|\sqrt{3^2+1^2+(-3)^2} =|\beta|\sqrt{19}.
Da área, \|\vec u\times\vec v\|=76, logo
|\beta|\sqrt{19}=76 \quad\Longrightarrow\quad |\beta|=\frac{76}{\sqrt{19}}=4\sqrt{19}.

Passo 5

Escolhendo \beta=4\sqrt{19} e \alpha=-\tfrac{3}{2}\,\beta=-6\sqrt{19}, obtemos
\vec u =(\alpha+\beta,\;3\beta,\;\alpha+2\beta) =(-2\sqrt{19},\;12\sqrt{19},\;2\sqrt{19}).
Se \beta=-4\sqrt{19} trocamos sinal de \vec u, o que também satisfaz as condições, mas geralmente escolhe-se a primeira.

Resposta

\displaystyle \vec u =(-2\sqrt{19},\,12\sqrt{19},\,2\sqrt{19}).

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