Se \vec{u}=(3,-1,-2), \vec{v}=(2,4,-1) e \vec{w}=(-1,0,1), determine:
2(\vec{u} \times \vec{v}, \vec{v})

Passo 1

O enunciado nos dá os vetores \vec{u} = (3,-1,-2), \vec{v} = (2,4,-1) e \vec{w}=(-1,0,1)
e pede para calcular
2\,\bigl(\vec{u}\times\vec{v},\vec{v}\bigr),
onde (\cdot,\cdot) indica o produto interno (dot product). Vamos usar as propriedades de produto vetorial e escalar para resolver.

Passo 2

Lembrando que o produto vetorial \vec{u}\times\vec{v} é um vetor perpendicular a \vec{u} e a \vec{v}. Podemos calculá-lo pela fórmula do determinante:
\vec{u}\times\vec{v} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\\\ 3 & -1 & -2 \\\\ 2 & 4 & -1 \end{vmatrix} = \Bigl((-1)(-1)-(-2)(4),\;-\bigl(3\cdot(-1)-(-2)\cdot2\bigr),\;3\cdot4-(-1)\cdot2\Bigr).
Calculando cada componente:
(-1)(-1)-(-2)(4)=1+8=9,
3\cdot(-1)-(-2)\cdot2=-3+4=1\quad\Longrightarrow\quad -\bigl(1\bigr)=-1,
3\cdot4-(-1)\cdot2=12+2=14.
Logo
\vec{u}\times\vec{v} = (9,\,-1,\,14).

Passo 3

Agora fazemos o produto escalar desse resultado com \vec{v}:
(\vec{u}\times\vec{v},\vec{v}) = (9,-1,14)\cdot(2,4,-1) =9\cdot2 + (-1)\cdot4 + 14\cdot(-1) =18 -4 -14 =0.

Passo 4

Finalmente, multiplicamos por 2:
2\,\bigl(\vec{u}\times\vec{v},\vec{v}\bigr) = 2\cdot 0 = 0.

Resposta

0

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