1. Um triângulo tem a base fixa e o produto das inclinações dos lados variáveis é sempre igual a 4. Se a base é o segmento que une os pontos A(3,0) e B(-3,0), identifique o lugar geométrico descrito pelo vértice oposto à base.

Passo 1

O enunciado dá a base fixa AB com A(3,0) e B(-3,0) e pede o lugar geométrico do vértice P de um triângulo cuja base é AB e em que o produto das inclinações dos lados PA e PB vale sempre 4. O conteúdo aqui é determinar o conjunto de pontos (x,y) que satisfazem essa condição de declives.

Passo 2

Seja P(x,y) o vértice variável. A inclinação da reta PA é
m1 = y-0x-3 = yx-3,
e a inclinação da reta PB é
m2 = y-0x+3 = yx+3

Passo 3

Pela hipótese,
m1 ,m2 = 4 Longrightarrow yx-3,yx+3 = 4 Longrightarrow y^2(x-3)(x+3) = 4
Como (x-3)(x+3)=x^2-9, obtemos
y^2x^2-9 = 4 Longrightarrow y^2 = 4,(x^2 - 9)

Passo 4

Expandindo e trazendo tudo para um lado:
y^2 = 4x^2 - 36 Longrightarrow 4x^2 - y^2 - 36 = 0
Para ver em forma canônica, dividimos por 36:
4x^236 - y^236 = 1 Longrightarrow x^29 - y^236 = 1

Passo 5

A equação
x^29 - y^236 = 1
é a de uma hipérbole centrada em (0,0), com eixo transverso ao longo de x, vértices em (pm3,0) e assíntotas y = pm 2x.

Resposta

O lugar geométrico de P é a hipérbole de equação
x^29 - y^236 = 1

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