Se o triângulo de vértices nos pontos P_{1}(0,0), P_{2}(3,1) e P_{3}(2, K) é retângulo, com o ângulo de vértice P_{2} reto. Então, K é igual a:
a) 5
b) 6
c) 3
d) 4

Passo 1

O enunciado dá um triângulo com vértices em P_{1}(0,0), P_{2}(3,1) e P_{3}(2,K), e diz que o ângulo em P_{2} é reto. Isso significa que os segmentos P_{2}P_{1} e P_{2}P_{3} são perpendiculares. Para descobrir K, vamos usar o fato de que dois vetores são perpendiculares se, e somente se, seu produto escalar é zero.

Passo 2

Escrevemos os vetores a partir de P_{2}:
\vec{P_{2}P_{1}} = (0-3,\;0-1) = (-3,\,-1),
\vec{P_{2}P_{3}} = (2-3,\;K-1) = (-1,\;K-1).

Passo 3

A condição de perpendicularidade é
\vec{P_{2}P_{1}} \cdot \vec{P_{2}P_{3}} = 0.
Calculando o produto escalar:
(-3)\cdot(-1) + (-1)\cdot(K-1) = 0
3 - (K-1) = 0.

Passo 4

Resolvendo a equação 3 - (K-1)=0:
3 - K + 1 = 0
4 - K = 0
K = 4.

Resposta

4

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