Dois vértices de um triângulo A B C são os pontos A(2,-1) e B(5,3), e o seu baricentro é o ponto G(1,3). Podemos afirmar que o comprimento da mediana, relativa ao vértice C , mede:
a) \frac{3 \sqrt{41}}{2}
b) \frac{2 \sqrt{31}}{3}
c) 9
d) \frac{3 \sqrt{3}}{12}

Passo 1

O enunciado nos dá os vértices A(2,-1), B(5,3) e o baricentro G(1,3) de um triângulo ABC. Pede-se o comprimento da mediana relativa ao vértice C, ou seja, o segmento que vai de C ao ponto médio de AB. Vamos usar a fórmula do baricentro e a fórmula da distância entre dois pontos no plano.

Passo 2

Usamos a relação do baricentro em coordenadas:
\vec{G} = \frac{\vec{A} + \vec{B} + \vec{C}}{3}.
Logo
\vec{C} = 3\vec{G} - \vec{A} - \vec{B}.
Em coordenadas isso dá
3\vec{G} = (3\cdot1,\,3\cdot3) = (3,9),\quad \vec{A} + \vec{B} = (2+5,\,-1+3) = (7,2),
\vec{C} = (3,9) - (7,2) = (-4,7).

Passo 3

O ponto médio M de AB é dado por
M = \Bigl(\frac{x_A+x_B}{2},\,\frac{y_A+y_B}{2}\Bigr) = \Bigl(\frac{2+5}{2},\,\frac{-1+3}{2}\Bigr) = \Bigl(\frac{7}{2},\,1\Bigr).

Passo 4

O comprimento da mediana CM é a distância entre C(-4,7) e M\bigl(\tfrac{7}{2},1\bigr):
CM = \sqrt{\bigl(-4 - \tfrac{7}{2}\bigr)^2 + (7-1)^2} = \sqrt{\bigl(-\tfrac{15}{2}\bigr)^2 + 6^2} = \sqrt{\frac{225}{4} + \frac{144}{4}} = \sqrt{\frac{369}{4}} = \frac{\sqrt{369}}{2} = \frac{3\sqrt{41}}{2}.

Resposta

a) \displaystyle \frac{3\sqrt{41}}{2}

Exercícios relacionados