Trilhos condutores A e B, tendo comprimentos iguais de 42,6 \mathrm{~m} \mathrm{e} área da seção transversal de 91,0 \mathrm{~cm}^{2} são conectados em série. Uma diferença de potencial de 630 V é aplicada entre os terminais dos trilhos conectados em série. As resistências dos trilhos são de 76,2 \mu \Omega e de 35 \mu \Omega. Determine
as resistividades dos trilhos

Passo 1

O enunciado dá dois trilhos condutores A e B com o mesmo comprimento e a mesma área da seção transversal, conectados em série, e fornece as resistências medidas de cada trilho. Pede-se encontrar as resistividades dos trilhos. Dados fornecidos:
L=42{,}6\\ \mathrm{m}
A=91{,}0\\ \mathrm{cm}^2
R_A=76{,}2\\ \mu\Omega
R_B=35{,}0\\ \mu\Omega
As perguntas são: qual é a resistividade do trilho A e qual é a resistividade do trilho B?

Passo 2

Vamos apresentar a relação que liga resistência, resistividade, comprimento e área de seção transversal. A fórmula é
R=\rho\frac{L}{A}
onde:
  • R é a resistência elétrica do condutor (em \Omega);
  • \rho é a resistividade do material (em \Omega\cdot\mathrm{m});
  • L é o comprimento do condutor (em \mathrm{m});
  • A é a área da seção transversal (em \mathrm{m}^2).\n
    Queremos \rho, então isolamos:
\rho = R\frac{A}{L}.
Vou usar essa fórmula para cada trilho. Antes disso faço as conversões de unidades necessárias.

Passo 3

Converter unidades para o SI:
  • Área: 1\\ \mathrm{cm}^2 = 10^{-4}\\ \mathrm{m}^2. Assim
A = 91{,}0\\ \mathrm{cm}^2 = 91{,}0\times 10^{-4}\\ \mathrm{m}^2 = 0{,}00910\\ \mathrm{m}^2.
  • Resistências em micro-ohm: 1\\ \mu\Omega=10^{-6}\\ \Omega. Assim
R_A = 76{,}2\\ \mu\Omega = 76{,}2\times10^{-6}\\ \Omega = 7{,}62\times10^{-5}\\ \Omega,
R_B = 35{,}0\\ \mu\Omega = 35{,}0\times10^{-6}\\ \Omega = 3{,}50\times10^{-5}\\ \Omega.
O comprimento L já está em metros: L=42{,}6\\ \mathrm{m}.

Passo 4

Calcular a resistividade do trilho A usando \rho=R\frac{A}{L}.
Primeiro calcule R_A\cdot A:
R_A\cdot A = \left(7{,}62\times10^{-5}\right)\times\left(0{,}00910\right).
Multiplicando passo a passo:
7{,}62\times0{,}00910 = 0{,}069342
e ajustando potências de 10:
7{,}62\times10^{-5}\times 9{,}10\times10^{-3} = 0{,}069342\times10^{-8} = 6{,}9342\times10^{-7}.
Então
R_A\cdot A = 6{,}9342\times10^{-7}\\ \Omega\cdot\mathrm{m}^2.
Agora dividimos por L:
\rho_A = \frac{6{,}9342\times10^{-7}}{42{,}6}.
Fazendo a divisão:
\frac{6{,}9342}{42{,}6}=0{,}16275\quad\Rightarrow\quad \rho_A=0{,}16275\times10^{-7}\\ \Omega\cdot\mathrm{m}.
Reescrevendo em potência padrão:
\rho_A = 1{,}6275\times10^{-8}\\ \Omega\cdot\mathrm{m}.
Arredondando razoavelmente (duas casas significativas compatíveis com os dados):
\rho_A \approx 1{,}63\times10^{-8}\\ \Omega\cdot\mathrm{m}.

Passo 5

Calcular a resistividade do trilho B pelo mesmo procedimento.
Primeiro R_B\cdot A:
R_B\cdot A = \left(3{,}50\times10^{-5}\right)\times\left(0{,}00910\right).
Multiplicando:
3{,}50\times0{,}00910 = 0{,}03185
e com potências de 10:
3{,}50\times10^{-5}\times9{,}10\times10^{-3} = 0{,}03185\times10^{-8} = 3{,}185\times10^{-7}.
Então
R_B\cdot A = 3{,}185\times10^{-7}\\ \Omega\cdot\mathrm{m}^2.
Dividindo por L:
\rho_B = \frac{3{,}185\times10^{-7}}{42{,}6}.
Fazendo a divisão:
\frac{3{,}185}{42{,}6}=0{,}07478\quad\Rightarrow\quad \rho_B=0{,}07478\times10^{-7}\\ \Omega\cdot\mathrm{m}.
Em potência padrão:
\rho_B = 7{,}478\times10^{-9}\\ \Omega\cdot\mathrm{m}.
Arredondando:
\rho_B \approx 7{,}48\times10^{-9}\\ \Omega\cdot\mathrm{m}.

Passo 6

Resumo e pequena interpretação (pra te animar): os valores calculados são
\rho_A \approx 1{,}63\times10^{-8}\\ \Omega\cdot\mathrm{m}, \qquad \rho_B \approx 7{,}48\times10^{-9}\\ \Omega\cdot\mathrm{m}.
Nota rápida: \rho_A está bem próximo da resistividade do cobre puro a temperatura ambiente (cerca de 1{,}68\times10^{-8}\\ \Omega\cdot\mathrm{m}), enquanto \rho_B é consideravelmente menor (o que sugere um material com resistividade muito baixa ou alguma diferença experimental); de qualquer forma os cálculos acima seguem diretamente da fórmula R=\rho L/A e das conversões de unidade.

Resposta

\rho_A \approx 1{,}63\times10^{-8}\\ \Omega\cdot\mathrm{m}\n
\rho_B \approx 7{,}48\times10^{-9}\\ \Omega\cdot\mathrm{m}

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