O módulo da densidade de corrente \mathbf{J} \mathrm{em} um fio cilíndrico grosso de raio \mathrm{R}=2,0 \mathrm{~mm}=2 \times 10^{-1} \mathrm{~m} é dado por \mathrm{J}=\left(3,00 \times 10^{5}\right) \cdot \mathrm{x}^{2}, \mathrm{com} \mathrm{J} \mathrm{cm} \mathrm{A} / \mathrm{m}^{2} \mathrm{e} a distância radial r em metros. Qual é a corrente que passa em um anel concéntrico com o fio, com 10,0 \mu \mathrm{~m}=1 \times 10^{-5} \mathrm{~m} de largura, situado a 1,20 \mathrm{~mm}=1,2 \times 10^{-3} \mathrm{~m} do centro do fio?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa só: \n
Dado: \;J(r) = \left(3,00\times10^{5}\right)\cdot r^{2} com J em \mathrm{A/m^{2}} e r em metros. \n
Dado: raio do fio (para referência) \;R = 2,0\\ \mathrm{mm} = 2,0\times10^{-3}\\ \mathrm{m}. \n
Dado: queremos a corrente que passa em um anel concêntrico com o fio localizado a \;r = 1,20\times10^{-3}\\ \mathrm{m} e com largura radial \;\Delta r = 1,00\times10^{-5}\\ \mathrm{m}. \n
Pergunta: Qual é a corrente que atravessa esse anel de largura \Delta r situado em r?

Passo 2

Entendendo o que é densidade de corrente e como se obtém a corrente: \n
A densidade de corrente \;J(r) (em \mathrm{A/m^{2}}) é a corrente por unidade de área que cruza uma seção transversal. Para uma distribuição com simetria cilíndrica (somente função de r), a corrente que atravessa uma faixa anular entre r e r+\mathrm{d}r é a densidade multiplicada pela área dessa faixa. \n
A área da faixa anular (por unidade de comprimento do fio) é \mathrm{d}A = 2\pi r\,\mathrm{d}r. Aqui \;r é o raio médio local e \mathrm{d}r é a espessura radial pequena. \n
Portanto, a contribuição elementar de corrente é \mathrm{d}I = J(r)\,\mathrm{d}A = J(r)\,2\pi r\,\mathrm{d}r. \n
Se a faixa tem largura finita \Delta r, a corrente total no anel é a integral
I=\int_{r}^{r+\Delta r} J(r')\,2\pi r'\,\mathrm{d}r'.

Passo 3

Aplicando a expressão de J(r) ao integral: \n
Temos J(r') = k\,{r'}^{2} com k=3,00\times10^{5}. Substituindo,
I=\int_{r}^{r+\Delta r} \left(k{r'}^{2}\right)\,2\pi r'\,\mathrm{d}r' = 2\pi k \int_{r}^{r+\Delta r} {r'}^{3}\,\mathrm{d}r'.

Passo 4

Calcule a integral indefinida e escreva a expressão exata: \n
A integral de {r'}^{3} é \dfrac{{r'}^{4}}{4}. Portanto,
I = 2\pi k \left[\frac{{r'}^{4}}{4}\right]_{r}^{r+\Delta r} = \frac{\pi k}{2}\left((r+\Delta r)^{4} - r^{4}\right).
Essa é a expressão exata para a corrente no anel de largura \Delta r.

Passo 5

Agora substituímos os valores numéricos (mostrando as contas com cuidado): \n
Defina k=3,00\times10^{5}. \n
Defina r = 1,20\times10^{-3}\\ \mathrm{m}. \n
Defina \Delta r = 1,00\times10^{-5}\\ \mathrm{m}. \n
Calcule r^{4}:
r^{4} = (1,20\times10^{-3})^{4} = 2,0736\times10^{-12}.
Calcule (r+\Delta r)^{4}:
(r+\Delta r)^{4} = (1,21\times10^{-3})^{4} = 2,14358881\times10^{-12}.
Subtraindo:
(r+\Delta r)^{4} - r^{4} = 2,14358881\times10^{-12} - 2,0736\times10^{-12} = 6,998881\times10^{-14}.

Passo 6

Calcule o fator \dfrac{\pi k}{2} e então a corrente: \n
\frac{\pi k}{2} = \frac{\pi\left(3,00\times10^{5}\right)}{2} = 4,71238898\times10^{5}.
Multiplicando pelo diferencial de potências:
I = \left(4,71238898\times10^{5}\right)\left(6,998881\times10^{-14}\right) = 3,298145\times10^{-8}\\ \mathrm{A}.

Passo 7

Arredonde com algarismos significativos coerentes com os dados (entradas têm tipicamente 3 algarismos significativos): \n
Assim, a corrente no anel é aproximadamente
I \approx 3,30\times10^{-8}\\ \mathrm{A}.
(Verificação rápida: se usássemos a aproximação linear I\approx J(r)\,2\pi r\,\Delta r daria um valor muito próximo, o que confirma que a ordem de grandeza está correta.)

Resposta

3,30\times10^{-8}\\ \mathrm{A}

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