O módulo da densidade de corrente
um fio cilíndrico grosso de raio
é dado por
a distância radial r em metros. Qual é a corrente que passa em um anel concéntrico com o fio, com
de largura, situado a
do centro do fio?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa só: \n
Dado: com
em
e
em metros. \n
Dado: raio do fio (para referência) . \n
Dado: queremos a corrente que passa em um anel concêntrico com o fio localizado a e com largura radial
. \n
Pergunta: Qual é a corrente que atravessa esse anel de largura situado em
?
Dado:
Dado: raio do fio (para referência)
Dado: queremos a corrente que passa em um anel concêntrico com o fio localizado a
Pergunta: Qual é a corrente que atravessa esse anel de largura
Passo 2
Entendendo o que é densidade de corrente e como se obtém a corrente: \n
A densidade de corrente (em
) é a corrente por unidade de área que cruza uma seção transversal. Para uma distribuição com simetria cilíndrica (somente função de
), a corrente que atravessa uma faixa anular entre
e
é a densidade multiplicada pela área dessa faixa. \n
A área da faixa anular (por unidade de comprimento do fio) é . Aqui
é o raio médio local e
é a espessura radial pequena. \n
Portanto, a contribuição elementar de corrente é . \n
Se a faixa tem largura finita , a corrente total no anel é a integral
A densidade de corrente
A área da faixa anular (por unidade de comprimento do fio) é
Portanto, a contribuição elementar de corrente é
Se a faixa tem largura finita
Passo 3
Aplicando a expressão de
ao integral: \n
Temos com
. Substituindo,
Temos
Passo 4
Calcule a integral indefinida e escreva a expressão exata: \n
A integral de é
. Portanto,
A integral de
Essa é a expressão exata para a corrente no anel de largura
.
Passo 5
Agora substituímos os valores numéricos (mostrando as contas com cuidado): \n
Defina . \n
Defina . \n
Defina . \n
Calcule :
Defina
Defina
Defina
Calcule
Calcule
:
Subtraindo:
Passo 6
Calcule o fator
e então a corrente: \n
Multiplicando pelo diferencial de potências:
Passo 7
Arredonde com algarismos significativos coerentes com os dados (entradas têm tipicamente 3 algarismos significativos): \n
Assim, a corrente no anel é aproximadamente
Assim, a corrente no anel é aproximadamente
(Verificação rápida: se usássemos a aproximação linear
daria um valor muito próximo, o que confirma que a ordem de grandeza está correta.)