Um trocador de calor contracorrente de tubo duplo deve aquecer água de 20^{\circ} \mathrm{C} a 80^{\circ} \mathrm{C} a uma vazão mássica de 1,2 \mathrm{~kg} / \mathrm{s}. O aquecimento é obtido por água geotérmica disponível a 160^{\circ} \mathrm{C} com vazão mássica de 2 \mathrm{~kg} / \mathrm{s}. O tubo interno tem diâmetro de 1,5 cm e a espessura da parede pode ser considerada desprezível. Considerando que o coeficiente global de troca térmica do trocador de calor é 640 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2} \mathrm{~K}. Determine o comprimento do trocador de calor necessário para atingir o aquecimento desejado empregando:
O método da MLDT

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que é pedido.
Dados do enunciado:
  • Água fria (a ser aquecida):
    • Temperatura de entrada: T_{c,in}=20^\circ\mathrm{C}.
    • Temperatura de saída desejada: T_{c,out}=80^\circ\mathrm{C}.
    • Vazão mássica: \dot m_c=1,2\\ \mathrm{kg/s}.
  • Água geotérmica (fluido quente):
    • Temperatura de entrada: T_{h,in}=160^\circ\mathrm{C}.
    • Vazão mássica: \dot m_h=2,0\\ \mathrm{kg/s}.
    • Temperatura de saída T_{h,out} não fornecida (será obtida pelo balanço de energia).
  • Geometria / propriedades:
    • Diâmetro do tubo interno: d=1,5\\ \mathrm{cm}=0,015\\ \mathrm{m}.
    • Espessura da parede desprezível (logo, usamos d como diâmetro efetivo de troca).
    • Coeficiente global de troca térmica: U=640\\ \mathrm{W/(m^2\\ K)}.
O que o enunciado pede:
  • Determinar o comprimento L do trocador de calor (tubo interno) necessário, usando o método da MLDT (diferença de temperatura logarítmica média, LMTD) para um trocador contracorrente.
Observação que vou assumir (e direi quando usada):
  • Calor específico da água constante: c_p=4180\\ \mathrm{J/(kg\\ K)} (valor típico razoável para água líquida nessa faixa de temperatura).

Passo 2

Calcular a taxa de calor necessária para aquecer a água fria. Aqui usamos a expressão do balanço energético no lado frio (energia ganha pelo frio):
\dot Q = \dot m_c\, c_p\, \bigl(T_{c,out}-T_{c,in}\bigr).
Explicação da fórmula (aula curta):
  • \dot Q é a potência térmica transferida (em \mathrm{W}).
  • \dot m_c é a vazão mássica do fluido frio ( \mathrm{kg/s}).
  • c_p é o calor específico (energia necessária para elevar 1 kg de fluido em 1 K), aqui em \mathrm{J/(kg\\ K)}.
  • A diferença \bigl(T_{c,out}-T_{c,in}\bigr) é a variação de temperatura do fluido frio em K (ou °C).
Agora aplicando números:
\dot Q = 1,2\cdot 4180\cdot (80-20)=1,2\cdot 4180\cdot 60.
Calculemos passo a passo:
4180\cdot 60 = 250800\quad\Rightarrow\quad \dot Q = 1,2\cdot 250800 = 300960\\ \mathrm{W}.
Portanto
\dot Q = 300960\\ \mathrm{W}\approx 301\\ \mathrm{kW}.

Passo 3

Determinar a temperatura de saída do fluido quente usando balanço de energia (o calor cedido pelo quente é igual ao recebido pelo frio, desprezando perdas):
\dot Q = \dot m_h\, c_p\, \bigl(T_{h,in}-T_{h,out}\bigr).
Isolando T_{h,out}:
T_{h,out} = T_{h,in} - \frac{\dot Q}{\dot m_h\, c_p}.
Substituindo números:
T_{h,out} = 160 - \frac{300960}{2,0\cdot 4180}.
Calculemos:
2,0\cdot 4180 = 8360, \qquad \frac{300960}{8360}\approx 36,02.
Logo
T_{h,out}\approx 160 - 36,02 = 123,98^\circ\mathrm{C}.
(Comentário didático: é normal que T_{h,out} fique acima de T_{c,out} quando as vazões e capacidades térmicas não são iguais; aqui o quente sai ainda quente, como esperado.)

Passo 4

Calcular as diferenças de temperatura nas extremidades do trocador para o arranjo contracorrente. Para contracorrente, definimos:
\Delta T_1 = T_{h,in} - T_{c,out}, \qquad \Delta T_2 = T_{h,out} - T_{c,in}.
Explanação: \Delta T_1 é a diferença na entrada quente vs saída fria; \Delta T_2 é a diferença na saída quente vs entrada fria. Essas duas diferenças entram na fórmula da MLDT (LMTD).
Substituindo:
\Delta T_1 = 160 - 80 = 80\\ \mathrm{K},
\Delta T_2 = 123,98 - 20 = 103,98\\ \mathrm{K}.

Passo 5

Calcular a MLDT (LMTD). A fórmula da MLDT para um trocador com duas diferenças \Delta T_1 e \Delta T_2 é:
\Delta T_{lm} = \frac{\Delta T_1 - \Delta T_2}{\ln\!\left(\dfrac{\Delta T_1}{\Delta T_2}\right)}.
Observação didática: a MLDT é uma média logarítmica que representa a diferença média de temperatura ao longo do trocador quando a diferença varia exponencialmente. Ela garante que a relação \dot Q = U A \Delta T_{lm} seja correta para transferência composta.
Aplicando os valores:
\Delta T_{lm} = \frac{80 - 103,98}{\ln\!\left(\dfrac{80}{103,98}\right)}.
Calculemos passo a passo:
80 - 103,98 = -23,98, \qquad \frac{80}{103,98}\approx 0,7692, \qquad \ln(0,7692)\approx -0,2627.
Portanto
\Delta T_{lm} = \frac{-23,98}{-0,2627}\approx 91,33\\ \mathrm{K}.
(A MLDT é positiva; aqui \Delta T_{lm}\approx 91,33\\ \mathrm{K}.)

Passo 6

Relacionar a potência térmica com a área de troca através da lei de resfriamento média:
\dot Q = U\, A\, \Delta T_{lm}.
Dessa expressão isolamos a área necessária A:
A = \frac{\dot Q}{U\, \Delta T_{lm}}.
Substituindo os valores encontrados:
A = \frac{300960}{640\cdot 91,33}.
Calcule:
640\cdot 91,33 = 58451,2, \qquad A \approx \frac{300960}{58451,2}\approx 5,151\\ \mathrm{m^2}.
Portanto a área de troca necessária é aproximadamente 5,151\\ \mathrm{m^2}.

Passo 7

Relacionar a área A com o comprimento L do tubo. Para um tubo cilíndrico com diâmetro d e comprimento L, a área externa (ou interna, aqui idênticas pois a espessura é desprezível) de troca é:
A = \pi d L.
Isolando L:
L = \frac{A}{\pi d}.
Substituindo A=5,151\\ \mathrm{m^2} e d=0,015\\ \mathrm{m}:
L = \frac{5,151}{\pi\cdot 0,015}.
Calcule:
\pi\cdot 0,015 \approx 0,0471239, \qquad L \approx \frac{5,151}{0,0471239}\approx 109,35\\ \mathrm{m}.
Portanto o comprimento necessário do tubo é aproximadamente 109,35\\ \mathrm{m}.

Passo 8

Verificação e comentários práticos (didática e incentivo):
  • Fiz as contas assumindo c_p=4180\\ \mathrm{J/(kg\\ K)} constante. Se usar c_p ligeiramente diferente (por exemplo 4184), o resultado muda pouco (algumas décimas de metro).
  • Também assumi que o diâmetro dado d=0,015\\ \mathrm{m} é o diâmetro efetivo de troca e que todo o comprimento participa igualmente (um trocador real pode ter perdas de extremidade, cotovelos, passagens, etc.).
  • Conclusão física: como o fluxo quente é maior e a temperatura inicial do quente é bem superior, a MLDT fica relativamente grande e o comprimento pedido é grande (ordem de 10^2\\ \mathrm{m}), o que é normal para um trocador de área limitada por diâmetro pequeno.
  • Não se assuste: a lógica usada é padrão para projetar trocadores por MLDT e a sequência de passos (balanço de energia → temperaturas extremas → MLDT → área → comprimento) é a que cai em provas.

Resposta

\;L = 109,35\\ \mathrm{m}

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