(5.59 Incropera) Uma esfera de 80 mm de diâmetro ( k=50 \mathrm{~W} / \mathrm{m} . \mathrm{K} e \alpha=1,5.10^{-6} \mathrm{~m}^{2} / \mathrm{s} ) está inicialmente a uma temperatura uniforme elevada e é imersa em um banho de óleo mantido a 50^{\circ} \mathrm{C} . \mathrm{O} coeficiente de convecção para o processo de resfriamento é 1000 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2} . \mathrm{K} . \mathrm{Em} um dado instante, a temperatura da superfície da esfera é de 150^{\circ} \mathrm{C}. Qual a temperatura correspondente no centro da esfera?

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede (resumindo e pegando todos os números):
  • Diâmetro da esfera: 80\\ \text{mm} → raio R=40\\ \text{mm}=0{,}04\\ \text{m}.
  • Condutividade térmica: k=50\\ \mathrm{W/(m\cdot K)}.
  • Difusividade térmica: \alpha=1{,}5\cdot10^{-6}\\ \mathrm{m^2/s}.
  • Coeficiente de convecção do banho: h=1000\\ \mathrm{W/(m^2\cdot K)}.
  • Temperatura do banho (ambiente): T_{\infty}=50^\circ\mathrm{C}.
  • Em um instante dado, a temperatura da superfície da esfera é T(R,t)=150^\circ\mathrm{C}.
  • Pergunta: qual é a temperatura no centro da esfera, T(0,t), naquele mesmo instante?

Passo 2

Decidir o método: verificar se o método de corpo de concentração (lumped capacitance) é válido.
  • Para isso calculamos o número de Biot com o comprimento característico L_c=V/A para esfera: L_c=R/3.
  • Então
\mathrm{Bi}=\frac{h L_c}{k}=\frac{h (R/3)}{k}.
  • Substituindo os valores:
\mathrm{Bi}=\frac{1000\cdot(0{,}04/3)}{50}=\frac{1000\cdot0{,}013333\ldots}{50}=0{,}266666\ldots\approx0{,}267.
  • Regra prática: se \mathrm{Bi}<0{,}1 usa-se lumped capacitance. Aqui \mathrm{Bi}\approx0{,}267>0{,}1, logo a temperatura interna não é praticamente uniforme — não podemos usar o método lumped. Precisamos da solução de condução transiente no interior da esfera com convecção na superfície.

Passo 3

Apresentar a forma da solução (separação de variáveis) e obter a equação dos autovalores.
  • Para condução transiente em uma esfera com condição de convecção na superfície, através de separação de variáveis obtemos modos espaciais da forma (apenas a ideia necessária aqui):
\Phi_n(r)=\frac{\sin(\mu_n r/R)}{\mu_n r/R},
onde \mu_n são números adimensionais (autovalores) que satisfazem a condição de contorno na superfície. A condição de convecção -k\left.\dfrac{\partial T}{\partial r}\right|_{r=R}=h\left(T(R,t)-T_{\infty}\right) leva, para os autovalores, à equação transcendental
\mu_n\cot\mu_n=1-3\mathrm{Bi}.
  • Explicando os símbolos:
    • \mu_n é o n-ésimo autovalor adimensional (o primeiro autovalor chamamos \mu_1).
    • \mathrm{Bi} é o número de Biot já calculado.
    • A forma \Phi_n(r) dá o perfil espacial do modo n; em r=0 tem-se \Phi_n(0)=1 (limite bem definido) e em r=R tem-se \Phi_n(R)=\dfrac{\sin\mu_n}{\mu_n}.

Passo 4

Relação entre temperatura no centro e na superfície usando a aproximação de um único modo (primeiro termo).
  • A solução transiente é combinação de modos multiplicados por decaimentos exponenciais em função do tempo. Quando o primeiro modo domina (após tempos não muito pequenos) a solução pode ser aproximada por um único termo:
T(r,t)-T_{\infty}\approx A_1 e^{-(\mu_1^2\alpha t/R^2)}\,\Phi_1(r).
  • No centro ( r=0) temos \Phi_1(0)=1. Na superfície ( r=R) temos \Phi_1(R)=\dfrac{\sin\mu_1}{\mu_1}. Assim, dividindo as duas expressões (o fator temporal e A_1 se cancelam), obtemos a relação útil, independente do instante específico:
\frac{T(0,t)-T_{\infty}}{T(R,t)-T_{\infty}}=\frac{1}{\dfrac{\sin\mu_1}{\mu_1}}=\frac{\mu_1}{\sin\mu_1}.
  • Observação didática: isso é uma consequência direta do fato de que o perfil espacial do primeiro modo tem valor 1 no centro e \sin\mu_1/\mu_1 na superfície; portanto, conhecendo T(R,t) e \mu_1 consegue-se T(0,t) sem precisar do tempo nem da temperatura inicial — desde que o primeiro modo domine razoavelmente (esta é a aproximação padrão em problemas como o do livro de Incropera).

Passo 5

Calcular \mu_1 resolvendo numericamente \mu\cot\mu=1-3\mathrm{Bi}.
  • Já temos \mathrm{Bi}\approx0{,}2666667. Então
1-3\mathrm{Bi}=1-3\cdot0{,}2666667=1-0{,}8=0{,}2.
  • Temos que achar \mu tal que \mu\cot\mu=0{,}2. Fazendo uma busca numérica (bisseção/interpolação) encontra-se o primeiro raiz positiva aproximadamente
\mu_1\approx1{,}432.
(Resumo rápido do procedimento numérico: avaliou-se a função f(\mu)=\mu\cot\mu-0{,}2 em vários pontos e interpolou-se entre os sinais opostos até chegar ao valor acima.)
  • Agora calculamos \sin\mu_1. Com \mu_1\approx1{,}432 temos numericamente \sin\mu_1\approx0{,}991 (valor usado abaixo com precisão compatível).
  • Então a razão é
\frac{\mu_1}{\sin\mu_1}\approx\frac{1{,}432}{0{,}991}\approx1{,}445\\ \text{(aprox.)}.

Passo 6

Calcular T(0,t) a partir de T(R,t)=150^\circ\mathrm{C}.
  • Primeiro calcular o excesso de temperatura da superfície sobre o ambiente:
T(R,t)-T_{\infty}=150-50=100^\circ\mathrm{C}.
  • Aplicando a relação do Passo 4:
T(0,t)-T_{\infty}=\frac{\mu_1}{\sin\mu_1}\bigl(T(R,t)-T_{\infty}\bigr)\approx1{,}445\times100=144{,}5^\circ\mathrm{C}.
  • Portanto
T(0,t)=T_{\infty}+144{,}5\approx50+144{,}5=194{,}5^\circ\mathrm{C}.
  • Arredondando de maneira razoável, a temperatura no centro é aproximadamente 195^\circ\mathrm{C}.
Observação final e encorajamento: usei a aproximação de primeiro modo — é a abordagem que o livro de Incropera e problemas de prova costumam pedir quando se dá a temperatura da superfície num instante (essa relação centro/superfície é padrão). Se quiser, eu posso fazer uma busca numérica mais refinada para \mu_1 e dar o valor com mais casas decimais, ou discutir a precisão dessa aproximação (quando os modos superiores são negligenciáveis).

Resposta

T(0,t)\approx195^\circ\mathrm{C}

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