(5.44 Incropera) Uma camada de gelo de 5 mm de espessura é formado sobre o pára-brisa de um carro estacionado durante uma noite fria no qual a temperatura ambiente é de -
. Após o início da utilização do sistema de descongelamento, a superfície interna é subitamente exposta a uma corrente de ar a
. Considerando que o gelo se comporte como uma camada isolante na superfície externa, qual o coeficiente de convecção interna irá permitir que a superfície externa alcance
em 60 s ? As propriedades físicas do pára-brisa são
;
e
.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (peguei estes valores do enunciado):
- Espessura do pára-brisa (camada sólida que vamos aquecer):
. (O enunciado diz que há uma camada de gelo sobre o pára-brisa; ele pede para considerar que o gelo se comporta como uma camada isolante na superfície externa — ou seja, a face externa do vidro pode ser tomada como adiabática / isolada.) - Temperatura inicial uniforme do pára-brisa:
. - A superfície interna (lado interno do vidro) é subitamente exposta a um ar a
com coeficiente de convecção (desconhecido). - Quer-se o valor de
que faz com que a superfície externa do pára-brisa atinja em . - Propriedades do material do pára-brisa (peguei do enunciado):
-
Resumo do pedido:
- Determinar
tal que, com a face externa isolada, a face externa (inicialmente a ) atinja após .
Passo 2
Escolha do método e modelo físico (explicação didática)
- Estamos com condução transiente num plano (pára-brisa) cuja face interna (x=0) sofre convecção com o ar a
e a face externa (x=L) é isolada (o gelo age como isolante). A condição isolada na face externa permite usar uma simetria: o problema é equivalente ao centro (x=0) de um laminar de espessura com convecção idêntica nas duas superfícies. Em termos práticos, a temperatura da face isolada do problema original corresponde à temperatura central do problema simétrico com convecção em ambas as faces. - Para a barra simétrica de meia-espessura
(ou seja, problema padrão de placa com convecção nas duas faces), existe solução em série (autovalores) para a temperatura no centro. A forma geral para a temperatura adimensional no centro é, para solução homogênea inicial: onde: -
é o número de Fourier (medida adimensional do tempo), com difusividade térmica; -
são os autovalores, obtidos da equação transcendente com (Biot adimensional usando como metade da espessura do problema simétrico); - Os coeficientes
são
-
- Na prática, para muitos casos o primeiro termo da série (n=1) já fornece boa aproximação se
não for muito pequeno. Vamos usar a aproximação de um termo: - Objetivo: encontrar
tal que, para , a temperatura da face externa (igual ao centro do problema simétrico) atinja .
Passo 3
Definições e cálculo dos parâmetros físicos básicos
- Difusividade térmica:
Calculando: - Tempo dado:
. - Comprimento característico para o problema simétrico (metade da barra duplicada) é
. - Número de Fourier:
- Temperatura adimensional alvo: queremos
no tempo . Então
Passo 4
Relação entre
e
; estratégia numérica
- A relação entre Biot e o coeficiente buscado é
- Procedimento: para um valor tentativo de
resolve-se a equação transcendente para encontrar o menor autovalor positivo . Em seguida calcula-se Ajusta-se até que . - Vou fazer alguns cálculos-choque para achar
por iteração razoavelmente rápida (método de tentativa e erro com interpolação).
Passo 5
Cálculos numéricos (iteração) — testar
para ver comportamento
- Teste
- Resolver
numericamente (buscando em ). Aproximação: (verificação: ). - Calcular
: - Calcular
:
Resultado:
. Assim
deve ser maior (para reduzir
) ou levemente maior, pois maior
aumenta
e faz o decaimento ser mais forte.
- Teste
- Resolver
. - Calcular
: - Calcular
:
Resultado:
. Então o
procurado está entre
e
.
Passo 6
Refinar a solução por interpolação (busca entre
e
)
-
Tentativa
: - Resolver
(encontrado por bissecção/checagem). - Calcular
: - Calcular
:
- Resolver
-
Resultado:
, um pouco acima de . -
Ajuste fino
: - Resolver
. - Calcular
: - Calcular
:
- Resolver
- Resultado:
— corresponde praticamente ao valor-alvo.
Passo 7
Convertendo
em
e resultado final
-
Com
, usa-se Calculando: -
Arredondando para dois algarismos significativos compatíveis com dados:
.