Duas placas de grandes dimensões são paralelas. Considerando que a distância entre as placas é de 5 mm e que este espaço está preenchido com um óleo de viscosidade dinâmica 0,02 \mathrm{kgf.s} / \mathrm{m}^{2}, determine a força necessária para arrastar uma
chapa quadrada de 1 m de lado, de espessura 3 mm , posicionada a igual distância das duas placas, a uma velocidade constante de 0,15 \mathrm{~m} / \mathrm{s}

Passo 1

O enunciado pede: determinar a força necessária para arrastar a placa quadrada de lado 1\\ \mathrm{m} a velocidade constante 0,15\\ \mathrm{m/s} dentro do óleo entre duas placas paralelas separadas por 5\\ \mathrm{mm}. Informações relevantes dadas (estou indicando quais valores foram retirados da imagem quando for o caso):
  • Placa quadrada: lado 1\\ \mathrm{m} (peguei este valor da imagem).
  • Espessura da placa: 3\\ \mathrm{mm} (peguei este valor da imagem).
  • Distância total entre as placas grandes: 5\\ \mathrm{mm} (peguei este valor da imagem).
  • Velocidade de arraste: 0,15\\ \mathrm{m/s} (do enunciado).
  • Viscosidade dinâmica do óleo: \mu=0,02\\ \mathrm{kgf\cdot s/m^{2}} (do enunciado).
Objetivo claro: calcular a força F necessária para manter a placa em movimento uniforme. A seguir vou mostrar passo a passo a teoria aplicada, as conversões de unidades e todos os cálculos.

Passo 2

Entender a geometria do problema e calcular a espessura do filme de óleo em cada face da placa. A placa de espessura 3\\ \mathrm{mm} está posicionada a igual distância das duas placas maiores, portanto a folga (gap) em cada lado é
h=\frac{5\\ \mathrm{mm}-3\\ \mathrm{mm}}{2}=\frac{2\\ \mathrm{mm}}{2}=1\\ \mathrm{mm}.
Converter para metros:
h=1\\ \mathrm{mm}=0,001\\ \mathrm{m}.
Área da face da placa (cada face, superior ou inferior) é
A = 1\\ \mathrm{m}\times 1\\ \mathrm{m}=1\\ \mathrm{m^{2}}.

Passo 3

Converter a viscosidade para unidades SI (Pascal-segundo). A unidade dada é \mathrm{kgf\cdot s/m^{2}}; para converter usa-se 1\\ \mathrm{kgf}=9,80665\\ \mathrm{N}. Assim
\mu = 0,02\\ \mathrm{kgf\cdot s/m^{2}} = 0,02\times 9,80665\\ \mathrm{N\cdot s/m^{2}} = 0,196133\\ \mathrm{Pa\cdot s}.
(Arredondarei quando necessário, mas guardarei casas suficientes para o cálculo.)

Passo 4

Explicar a física envolvida (modo “manual” e fácil): quando uma placa se move paralelamente a outra com um fluido viscoso entre elas e o fluxo é laminar e estacionário, o fluido próximo à placa em movimento arrasta camadas vizinhas criando um perfil de velocidade aproximadamente linear no gap (fluxo de Couette simples). A tensão cortante (shear stress) na parede é dada por a lei de Newton da viscosidade:
\tau=\mu\frac{du}{dy},
onde \tau é a tensão cortante (em \mathrm{Pa}), \mu é a viscosidade dinâmica (em \mathrm{Pa\cdot s}), u é a componente de velocidade na direção do movimento e y é a coordenada normal às placas. Para um perfil aproximadamente linear entre a placa móvel (velocidade V) e a placa fixa (velocidade zero) vale a aproximação
\frac{du}{dy}\approx\frac{V}{h}.
Portanto a tensão na superfície vale
\tau=\mu\frac{V}{h}.
A força viscosa sobre uma face é F_{\text{face}}=\tau A. Como há duas faces (superior e inferior) com folga igual, a força total é
F_{\text{total}}=2\,\tau A = 2\,\mu\frac{V}{h}A.
Nesta fórmula:
  • \mu = viscosidade dinâmica do óleo (em \mathrm{Pa\cdot s});
  • V = velocidade da placa ( \mathrm{m/s});
  • h = espessura do filme em cada lado ( \mathrm{m});
  • A = área de cada face ( \mathrm{m^{2}}).

Passo 5

Calcular a taxa de cisalhamento \dfrac{V}{h}:
\frac{V}{h}=\frac{0,15\\ \mathrm{m/s}}{0,001\\ \mathrm{m}}=150\\ \mathrm{s^{-1}}.
Calcular a tensão de cisalhamento:
\tau=\mu\frac{V}{h}=0,196133\\ \mathrm{Pa\cdot s}\times 150\\ \mathrm{s^{-1}}=29,41995\\ \mathrm{Pa}.
Força em uma face:
F_{\text{face}}=\tau A =29,41995\\ \mathrm{Pa}\times 1\\ \mathrm{m^{2}}=29,41995\\ \mathrm{N}.
Força total (duas faces):
F=2F_{\text{face}}=2\times 29,41995\\ \mathrm{N}=58,8399\\ \mathrm{N}.
Arredondando razoavelmente:
F\approx 58,84\\ \mathrm{N}.

Passo 6

Verificação rápida em unidades originais (opcional, para conferir): trabalhando diretamente com \mu em \mathrm{kgf\cdot s/m^{2}} e A em \mathrm{m^{2}}, tem-se
F\\ (\mathrm{kgf})=2\times 0,02\times 150\times 1=6,00\\ \mathrm{kgf}.
Convertendo 6,00\\ \mathrm{kgf} para Newtons ( 1\\ \mathrm{kgf}=9,80665\\ \mathrm{N}) retorna F=6,00\times 9,80665=58,84\\ \mathrm{N}, confirmando o cálculo anterior. Então o resultado é consistente.

Passo 7

Comentário final e incentivo curto: o cálculo é direto quando se reconhece que é um problema de cisalhamento viscoso (fluxo de Couette) com gap pequeno. Fazendo as conversões com cuidado e aplicando \tau=\mu V/h chega-se ao resultado. Se estiver nervoso na prova, lembra: desenha o perfil linear, calcula V/h e multiplica por \mu e pela área (e por 2, se tiver as duas faces).

Resposta

F=58,84\\ \mathrm{N}\approx 6,00\\ \mathrm{kgf}

Exercícios relacionados