Um trocador de calor de duplo tubo é utilizado para resfriar em contracorrente 3 \mathrm{~kg} / \mathrm{s} de um fluido quente [\mathrm{C}=2250 \mathrm{~J} /(\mathrm{kg} . \mathrm{K})] a 115^{\circ} \mathrm{C} utilizando 1 \mathrm{~kg} / \mathrm{s} de um fluido frio [\mathrm{C}=4180 \mathrm{~J} /(\mathrm{kg} . \mathrm{K})] a 25^{\circ} \mathrm{C}. A área de troca térmica é de 5 \mathrm{~m}^{2} e o coeficiente global de troca térmica de 740 \mathrm{~W} /\left(\mathrm{m}^{2} . \mathrm{K}\right). Determine as temperaturas das descargas do trocador utilizando o método da MLDT, use o solver ou atingir meta. Descreva o procedimento e os cálculos.
Lembre que a troca de calor de um fluído está governado pela seguinte equação:
Q=\dot{m} C \Delta T
Onde m é o fluxo mássico, C a capacidade calorifica do fluido.
Para um trocador de calor a equação que relaciona o fluido quente do frio a través da seguinte equação usando a média logarítmica de diferença de temperatura (MLDT):
Q=U A \Delta T_{m l}
Onde U é o coeficiente global de troca térmica, A é área de troca térmica e o MLDT pode ser descrita para um trocador em contracorrente como:
\Delta T_{m l}=\frac{\left(T_{i, q}-T_{s, f}\right)-\left(T_{s, q}-T_{i, f}\right)}{\ln \left[\frac{\left(T_{i, q}-T_{s, f}\right)}{\left(T_{s, q}-T_{i, f}\right)}\right]}
Onde i denota entrada, s saída, q quente e f frio.

Passo 1

Vou deixar muito claro o que o problema pede e os dados que temos (peguei todos esses valores do enunciado).
  • Dados do fluido quente:
    • Vazão mássica: \dot{m}_q = 3\\ \mathrm{kg/s}.
    • Capacidade térmica massica: C_q = 2250\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}.
    • Temperatura de entrada: T_{i,q} = 115^\circ\mathrm{C}.
  • Dados do fluido frio:
    • Vazão mássica: \dot{m}_f = 1\\ \mathrm{kg/s}.
    • Capacidade térmica massica: C_f = 4180\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}.
    • Temperatura de entrada: T_{i,f} = 25^\circ\mathrm{C}.
  • Propriedades do trocador:
    • Área: A = 5\\ \mathrm{m^2}.
    • Coeficiente global: U = 740\\ \mathrm{W/(m^2\cdot K)}.
O que o enunciado pede:
  • Determinar as temperaturas de descarga (saída) do trocador usando a MLDT (média logarítmica de diferença de temperatura) para trocador em contracorrente:
    • T_{s,q} (saída do fluido quente);
    • T_{s,f} (saída do fluido frio).

Passo 2

Relembrando as equações físicas que vamos usar (explicando cada termo):
  1. Balanço de energia (cada fluido): a variação de calor de um fluido é
Q = \dot{m}\,C\,\Delta T,
onde \dot{m} é vazão mássica ( \mathrm{kg/s}), C a capacidade térmica massica ( \mathrm{J/(kg\cdot K)}) e \Delta T a variação de temperatura ( \mathrm{K} ou ^\circ\mathrm{C}).
Para o fluido quente (resfriando):
Q = \dot{m}_q\,C_q\,(T_{i,q}-T_{s,q}).
Para o fluido frio (aquecendo):
Q = \dot{m}_f\,C_f\,(T_{s,f}-T_{i,f}).
Importante: em regime permanente o Q é o mesmo (o calor perdido pelo quente é ganho pelo frio).
  1. Fórmula LMTD para trocador em contracorrente:
Q = U A \Delta T_{ml},
com
\Delta T_{ml}=\frac{\left(T_{i,q}-T_{s,f}\right)-\left(T_{s,q}-T_{i,f}\right)} {\ln\!\left[\dfrac{T_{i,q}-T_{s,f}}{T_{s,q}-T_{i,f}}\right]}.
Aqui T_{i,q} e T_{s,q} são entrada e saída do quente, T_{i,f} e T_{s,f} entrada e saída do frio. A MLDT corresponde à média logarítmica das duas diferenças de temperatura de extremidade do trocador.
Estratégia: vamos reduzir o problema a uma única incógnita Q. A partir de Q expressamos T_{s,q} e T_{s,f} usando os balanços, montamos \Delta T_{ml}(Q) e impomos
f(Q) \equiv U A \Delta T_{ml}(Q) - Q = 0.
Isto é uma equação não linear em Q que resolveremos numericamente.

Passo 3

Expressões algébricas que ligam Q e as temperaturas de saída.
Calcule as capacidades térmicas (taxas de capacidade térmica):
C_{q,\text{tot}}=\dot{m}_q C_q = 3\cdot 2250 = 6750\\ \mathrm{W/K},
C_{f,\text{tot}}=\dot{m}_f C_f = 1\cdot 4180 = 4180\\ \mathrm{W/K}.
A partir das igualdades de energia temos:
T_{s,q} = T_{i,q} - \frac{Q}{C_{q,\text{tot}}} \qquad\text{e}\qquad T_{s,f} = T_{i,f} + \frac{Q}{C_{f,\text{tot}}}.
Agora calcule as duas diferenças que entram na MLDT (para contracorrente):
\Delta T_1 \equiv T_{i,q}-T_{s,f} = T_{i,q}-\left(T_{i,f}+\frac{Q}{C_{f,\text{tot}}}\right) = (T_{i,q}-T_{i,f}) - \frac{Q}{C_{f,\text{tot}}},
\Delta T_2 \equiv T_{s,q}-T_{i,f} = \left(T_{i,q}-\frac{Q}{C_{q,\text{tot}}}\right)-T_{i,f} = (T_{i,q}-T_{i,f}) - \frac{Q}{C_{q,\text{tot}}}.
Note que T_{i,q}-T_{i,f}=115-25=90\\ \mathrm{K}. Assim
\Delta T_1 = 90 - \frac{Q}{4180}, \qquad \Delta T_2 = 90 - \frac{Q}{6750}.
A MLDT em função de Q fica:
\Delta T_{ml}(Q) = \frac{\Delta T_1 - \Delta T_2}{\ln\!\left(\dfrac{\Delta T_1}{\Delta T_2}\right)} = \frac{\left(90-\dfrac{Q}{4180}\right)-\left(90-\dfrac{Q}{6750}\right)} {\ln\!\left(\dfrac{90-\dfrac{Q}{4180}}{90-\dfrac{Q}{6750}}\right)}.
Finalmente definimos a função que deve ser nula:
f(Q) = U A\,\Delta T_{ml}(Q) - Q.
Com U A = 740\cdot 5 = 3700\\ \mathrm{W/K}.

Passo 4

Escolha do método numérico e intervalo inicial
  • A equação é não linear mas contínua no intervalo fisicamente possível de Q. Limites físicos:
    • Q\ge 0.
    • Q não pode ultrapassar Q_{\max}=C_{f,\text{tot}}(T_{i,q}-T_{i,f}) (quando o fluido frio alcança a temperatura do quente), então Q_{\max} = 4180\cdot 90 = 376200\\ \mathrm{W}.
  • Vou usar o método da bissecção (bisection) porque é robusto, simples de explicar e garante convergência se tivermos um intervalo onde f muda de sinal. Bissecção é ótimo para prova: convergência garantida, passos fáceis de checar sem ferramentas avançadas.
Precisamos encontrar dois pontos Q_a e Q_b com f(Q_a)\cdot f(Q_b)<0. Vou testar alguns valores (estes cálculos são aritmética direta que você pode reproduzir na prova com uma calculadora):
Calcule f em alguns palpites:
  • Teste inicial Q=0:
    \Delta T_1=\Delta T_2=90\Rightarrow \Delta T_{ml}=90 \Rightarrow U A\Delta T_{ml}=3700\cdot90=333000\\ \mathrm{W}.
    Então f(0)=333000-0=+333000>0.
  • Teste Q = Q_{\max}=376200 (apenas para ver sinal): neste extremo uma das diferenças \Delta T_1 ou \Delta T_2 tende a zero ou negativo; numericamente f(Q_{\max}) será negativo (pois U A \Delta T_{ml} não pode exceder U A\cdot 90=333000 e Q_{\max}=376200 é maior que isso). Logo existe raiz em [0,Q_{\max}].
Podemos escolher um intervalo mais estreito usando testes rápidos (faço alguns cálculos para achar um bracket razoável):
  • Teste Q_1=81\,992\\ \mathrm{W} (obtido por tentativa anterior): calcula-se f(Q_1)\approx +192{,}3\times10^{3}\\ \mathrm{W} (positivo).
  • Teste Q_2=274\,322\\ \mathrm{W}: calcula-se f(Q_2)\approx -143{,}3\times10^{3}\\ \mathrm{W} (negativo).
Portanto existe raiz em [81{,}992,\;274{,}322]. A partir daqui aplico bissecção refinando o intervalo até atingir uma tolerância aceitável (por exemplo erro em Q menor que 100\\ \mathrm{W} ou convergência nas temperaturas a \approx 0,1^\circ\mathrm{C}).

Passo 5

Aplicação prática do método da bissecção (mostro os passos essenciais; em prova faça as iterações até a tolerância desejada)
Par de limites iniciais: a=81{,}992, b=274{,}322 (valores em \mathrm{W}).
  1. Iteração 1: Q_m=(a+b)/2=178{,}157.
    • Calcular \Delta T_1=90-\dfrac{178157}{4180}=47{,}38\\ \mathrm{K}.
    • \Delta T_2=90-\dfrac{178157}{6750}=63{,}61\\ \mathrm{K}.
    • \Delta T_{ml}=55{,}07\\ \mathrm{K}.
    • U A\Delta T_{ml}=3700\cdot55{,}07=203{,}761\\ \mathrm{W}.
    • f(Q_m)=203{,}761-178{,}157=+25{,}604>0 → raiz em [178{,}157,274{,}322].
  2. Iteração 2: Q_m=(178{,}157+274{,}322)/2=226{,}240.
    • Cálculos dão U A\Delta T_{ml}\approx167{,}573\\ \mathrm{W}.
    • f(Q_m)=167{,}573-226{,}240=-58{,}667<0 → raiz em [178{,}157,226{,}240].
  3. Iteração 3: Q_m=202{,}199.
    • U A\Delta T_{ml}\approx185{,}851\\ \mathrm{W}.
    • f(Q_m)=-16{,}348 → raiz em [178{,}157,202{,}199].
  4. Iteração 4: Q_m=190{,}178.
    • U A\Delta T_{ml}\approx194{,}840\\ \mathrm{W}.
    • f(Q_m)=+4{,}662 → raiz em [190{,}178,202{,}199].
  5. Iteração 5: Q_m=196{,}189.
    • U A\Delta T_{ml}\approx190{,}302\\ \mathrm{W}.
    • f(Q_m)=-5{,}887 → raiz em [190{,}178,196{,}189].
  6. Iteração 6: Q_m=193{,}184.
    • U A\Delta T_{ml}\approx192{,}847\\ \mathrm{W}.
    • f(Q_m)=-337 → raiz em [190{,}178,193{,}184].
  7. Iteração 7: Q_m=191{,}681.
    • U A\Delta T_{ml}\approx193{,}388\\ \mathrm{W}.
    • f(Q_m)=+1{,}707 → raiz em [191{,}681,193{,}184].
  8. Iteração 8: Q_m=192{,}433.
    • U A\Delta T_{ml}\approx193{,}118\\ \mathrm{W}.
    • f(Q_m)=+685 → raiz em [192{,}433,193{,}184].
  9. Iteração 9: Q_m=192{,}809.
    • U A\Delta T_{ml}\approx192{,}955\\ \mathrm{W}.
    • f(Q_m)=+146 → raiz em [192{,}809,193{,}184].
  10. Iteração 10: Q_m=192{,}997.
    • U A\Delta T_{ml}\approx192{,}901\\ \mathrm{W}.
    • f(Q_m)=-96 → raiz em [192{,}809,192{,}997].
Usando bissecção e/ou interpolação linear entre os dois últimos pontos obtém-se a solução com boa precisão em torno de
Q \approx 192{,}9\times 10^{3}\\ \mathrm{W}\quad(\text{ou}\\ \approx 192{,}900\\ \mathrm{W}).
(Se usar uma calculadora/sistema numérico, essa raiz converge rápido para Q\approx 192{,}92\times10^{3}\\ \mathrm{W}.)

Passo 6

Determinar as temperaturas de saída a partir de Q.
Com Q\approx 192{,}900\\ \mathrm{W} (arredondado):
  • Saída do quente:
T_{s,q} = T_{i,q} - \frac{Q}{C_{q,\text{tot}}} = 115 - \frac{192{,}900}{6750} \approx 115 - 28{,}59 \approx 86{,}41^\circ\mathrm{C}.
  • Saída do frio:
T_{s,f} = T_{i,f} + \frac{Q}{C_{f,\text{tot}}} = 25 + \frac{192{,}900}{4180} \approx 25 + 46{,}14 \approx 71{,}14^\circ\mathrm{C}.
Arredondando de forma cômoda para a prova: T_{s,q}\approx86{,}4^\circ\mathrm{C} e T_{s,f}\approx71{,}2^\circ\mathrm{C}.

Passo 7

Verificação rápida (consistência):
  • Calcule \Delta T_1 = 115 - 71{,}14 \approx 43{,}86\\ \mathrm{K} e \Delta T_2 = 86{,}41 - 25 \approx 61{,}41\\ \mathrm{K}.
  • MLDT aproximada dá \Delta T_{ml}\approx 52{,}13\\ \mathrm{K}.
  • U A \Delta T_{ml}\approx 3700\cdot52{,}13\approx 192{,}9\times10^{3}\\ \mathrm{W}, igual ao Q encontrado dentro do erro numérico — boa consistência.

Passo 8

Resumo didático e dicas para a prova
  • Transforme sempre o problema em uma única incógnita ( Q) usando os balanços de energia; assim reduz a MLDT a uma função dessa incógnita.
  • Use um método robusto (bissecção) se não for pedido método específico; é seguro e fácil de justificar.
  • Verifique limites físicos: Q\le C_{\min}(T_{i,q}-T_{i,f}).
  • Em provas, mostre a formulação f(Q)=UA\Delta T_{ml}(Q)-Q=0 e uma ou duas iterações de bissecção; isso já demonstra que você sabe montar e resolver numericamente o problema.
  • Fica o lembrete: mantenha unidades consistentes (W, K, m^2).

Resposta

T_{s,q}\approx86{,}4^\circ\mathrm{C}
T_{s,f}\approx71{,}2^\circ\mathrm{C}

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