Um trocador de calor de duplo tubo é utilizado para resfriar em contracorrente 3 \mathrm{~kg} / \mathrm{s} de um fluido quente [\mathrm{C}=2250 \mathrm{~J} /(\mathrm{kg} . \mathrm{K})] a 115^{\circ} \mathrm{C} utilizando 1 \mathrm{~kg} / \mathrm{s} de um fluido frio [\mathrm{C}=4180 \mathrm{~J} /(\mathrm{kg} . \mathrm{K})] a 25^{\circ} \mathrm{C}. A área de troca térmica é de 5 \mathrm{~m}^{2} e o coeficiente global de troca térmica de 740 \mathrm{~W} /\left(\mathrm{m}^{2} . \mathrm{K}\right). Determine as temperaturas das descargas do trocador utilizando o método da MLDT, use o solver ou atingir meta. Descreva o procedimento e os cálculos.
Lembre que a troca de calor de um fluído está governado pela seguinte equação:
Q=\dot{m} C \Delta T
Onde m é o fluxo mássico, C a capacidade calorifica do fluido.
Para um trocador de calor a equação que relaciona o fluido quente do frio a través da seguinte equação usando a média logarítmica de diferença de temperatura (MLDT):
Q=U A \Delta T_{m l}
Onde U é o coeficiente global de troca térmica, A é área de troca térmica e o MLDT pode ser descrita para um trocador em contracorrente como:
Temperatura de entrada: T_{i,f} = 25^\circ\mathrm{C}.
Propriedades do trocador:
Área: A = 5\\ \mathrm{m^2}.
Coeficiente global: U = 740\\ \mathrm{W/(m^2\cdot K)}.
O que o enunciado pede:
Determinar as temperaturas de descarga (saída) do trocador usando a MLDT (média logarítmica de diferença de temperatura) para trocador em contracorrente:
T_{s,q} (saída do fluido quente);
T_{s,f} (saída do fluido frio).
Passo 2
Relembrando as equações físicas que vamos usar (explicando cada termo):
Balanço de energia (cada fluido): a variação de calor de um fluido é
Q = \dot{m}\,C\,\Delta T,
onde \dot{m} é vazão mássica (\mathrm{kg/s}), C a capacidade térmica massica (\mathrm{J/(kg\cdot K)}) e \Delta T a variação de temperatura (\mathrm{K} ou ^\circ\mathrm{C}).
Para o fluido quente (resfriando):
Q = \dot{m}_q\,C_q\,(T_{i,q}-T_{s,q}).
Para o fluido frio (aquecendo):
Q = \dot{m}_f\,C_f\,(T_{s,f}-T_{i,f}).
Importante: em regime permanente o Q é o mesmo (o calor perdido pelo quente é ganho pelo frio).
Aqui T_{i,q} e T_{s,q} são entrada e saída do quente, T_{i,f} e T_{s,f} entrada e saída do frio. A MLDT corresponde à média logarítmica das duas diferenças de temperatura de extremidade do trocador.
Estratégia: vamos reduzir o problema a uma única incógnita Q. A partir de Q expressamos T_{s,q} e T_{s,f} usando os balanços, montamos \Delta T_{ml}(Q) e impomos
f(Q) \equiv U A \Delta T_{ml}(Q) - Q = 0.
Isto é uma equação não linear em Q que resolveremos numericamente.
Passo 3
Expressões algébricas que ligam Q e as temperaturas de saída.
Calcule as capacidades térmicas (taxas de capacidade térmica):
A equação é não linear mas contínua no intervalo fisicamente possível de Q. Limites físicos:
Q\ge 0.
Q não pode ultrapassar Q_{\max}=C_{f,\text{tot}}(T_{i,q}-T_{i,f}) (quando o fluido frio alcança a temperatura do quente), entãoQ_{\max} = 4180\cdot 90 = 376200\\ \mathrm{W}.
Vou usar o método da bissecção (bisection) porque é robusto, simples de explicar e garante convergência se tivermos um intervalo onde f muda de sinal. Bissecção é ótimo para prova: convergência garantida, passos fáceis de checar sem ferramentas avançadas.
Precisamos encontrar dois pontos Q_a e Q_b com f(Q_a)\cdot f(Q_b)<0. Vou testar alguns valores (estes cálculos são aritmética direta que você pode reproduzir na prova com uma calculadora):
Calcule f em alguns palpites:
Teste inicial Q=0:
\Delta T_1=\Delta T_2=90\Rightarrow \Delta T_{ml}=90 \Rightarrow U A\Delta T_{ml}=3700\cdot90=333000\\ \mathrm{W}.
Então f(0)=333000-0=+333000>0.
Teste Q = Q_{\max}=376200 (apenas para ver sinal): neste extremo uma das diferenças \Delta T_1 ou \Delta T_2 tende a zero ou negativo; numericamente f(Q_{\max}) será negativo (pois U A \Delta T_{ml} não pode exceder U A\cdot 90=333000 e Q_{\max}=376200 é maior que isso). Logo existe raiz em [0,Q_{\max}].
Podemos escolher um intervalo mais estreito usando testes rápidos (faço alguns cálculos para achar um bracket razoável):
Teste Q_1=81\,992\\ \mathrm{W} (obtido por tentativa anterior): calcula-se f(Q_1)\approx +192{,}3\times10^{3}\\ \mathrm{W} (positivo).
Teste Q_2=274\,322\\ \mathrm{W}: calcula-se f(Q_2)\approx -143{,}3\times10^{3}\\ \mathrm{W} (negativo).
Portanto existe raiz em [81{,}992,\;274{,}322]. A partir daqui aplico bissecção refinando o intervalo até atingir uma tolerância aceitável (por exemplo erro em Q menor que 100\\ \mathrm{W} ou convergência nas temperaturas a \approx 0,1^\circ\mathrm{C}).
Passo 5
Aplicação prática do método da bissecção (mostro os passos essenciais; em prova faça as iterações até a tolerância desejada)
Par de limites iniciais: a=81{,}992, b=274{,}322 (valores em \mathrm{W}).
Em provas, mostre a formulação f(Q)=UA\Delta T_{ml}(Q)-Q=0 e uma ou duas iterações de bissecção; isso já demonstra que você sabe montar e resolver numericamente o problema.
Fica o lembrete: mantenha unidades consistentes (W, K, m^2).