Um catalisador que pode fazer a reação de fase gasosa (Desafio Massa + Energia):
\mathrm{CO}_{2}+4 \mathrm{H}_{2}=2 \mathrm{H}_{2} \mathrm{O}+\mathrm{CH}_{4}
A conversão é de 80 \%. Calcule o calor que deve ser fornecido ou removido se os gases entrarem a 400^{\circ} \mathrm{C} e deixam o reator a 500^{\circ} \mathrm{C}.

Passo 1

O enunciado pede: calcular o calor que deve ser fornecido ou removido para a reação a seguir quando os gases entram a 400^\circ\mathrm{C} e deixam o reator a 500^\circ\mathrm{C}, com conversão de 80\%:
\mathrm{CO}_{2} + 4\,\mathrm{H}_{2} \longrightarrow 2\,\mathrm{H}_{2}\mathrm{O} + \mathrm{CH}_{4}.
Informações dadas e decisões necessárias (peguei todas as informações do enunciado; não foi dada composição de alimentação, então faço uma escolha padrão que facilita cálculo e é comum em exercícios):
  • Temperaturas: entrada T_{\text{in}} = 400^\circ\mathrm{C} = 673\\ \mathrm{K} e saída T_{\text{out}} = 500^\circ\mathrm{C} = 773\\ \mathrm{K}.
  • Conversão de 80\% (interpreto como 80\% do \mathrm{CO}_2 alimentado reage).
  • Vou assumir como base de cálculo: 1 mol de \mathrm{CO}_2 alimentado. (Isso é uma escolha de base; o resultado pode ser escalado linearmente.)
  • Vou assumir alimentação estequiométrica de \mathrm{H}_2: para cada mol de \mathrm{CO}_2 entram 4 mol de \mathrm{H}_2. Assim, com 1 mol \mathrm{CO}_2 alimentado e conversão 0{,}8, a extensão da reação é 0{,}8 mol do esquema estequiométrico.
  • Gases ideais e cp aproximados constantes (valores típicos usados em exercícios). Vou informar os valores que usei de c_p e as entalpias padrão de formação.
O que vou calcular: o calor Q (por mol de \mathrm{CO}_2 alimentado) necessário para que a corrente entre a 673\\ \mathrm{K} e saia a 773\\ \mathrm{K} com essa conversão. Se Q<0 significa que calor deve ser removido (processo libera calor).

Passo 2

Estratégia e fórmula energética básica (intuição física explicada): para um processo estacionário sem trabalho de fronteira, o balanço de energia (por base molar) dá
Q = \sum_i n_{i,\text{out}}\,h_i(T_{\text{out}}) - \sum_i n_{i,\text{in}}\,h_i(T_{\text{in}}),
onde h_i(T) é a entalpia molar da espécie i à temperatura T (referida a 298\\ \mathrm{K} via entalpias padrão de formação e a contribuição sensível). Para calcular h_i(T) uso
h_i(T) = h_i^\circ(298\\ \mathrm{K}) + \int_{298}^{T} c_{p,i}(T')\,dT'.
No nosso cálculo tomo c_{p,i} aproximadamente constantes no intervalo considerado, então \int_{298}^{T} c_{p,i}\,dT' \approx c_{p,i}\,(T-298).
Também é prático decompor o cálculo em duas partes: a contribuição da reação (entalpias padrão de formação, que nos dão \Delta_r H^\circ_{298}) e as diferenças de entalpia sensível entre as entradas e saídas.

Passo 3

Cálculo da entalpia padrão de reação a 298\\ \mathrm{K}. Uso entalpias padrão de formação (valores típicos):
  • \Delta_f H^\circ_{298}(\mathrm{CO}_2\,\mathrm{(g)}) = -393{,}5\\ \mathrm{kJ/mol},
  • \Delta_f H^\circ_{298}(\mathrm{H}_2\,\mathrm{(g)}) = 0\\ \mathrm{kJ/mol},
  • \Delta_f H^\circ_{298}(\mathrm{H}_2\mathrm{O}\,\mathrm{(g)}) = -241{,}8\\ \mathrm{kJ/mol},
  • \Delta_f H^\circ_{298}(\mathrm{CH}_4\,\mathrm{(g)}) = -74{,}8\\ \mathrm{kJ/mol}.
A entalpia padrão de reação por 1 mol de reação estequiométrica é
\Delta_r H^\circ_{298} = \big(2\Delta_f H^\circ_{298}(\mathrm{H}_2\mathrm{O}) + \Delta_f H^\circ_{298}(\mathrm{CH}_4)\big) - \big(\Delta_f H^\circ_{298}(\mathrm{CO}_2) + 4\Delta_f H^\circ_{298}(\mathrm{H}_2)\big).
Substituindo:
\Delta_r H^\circ_{298} = \big(2\cdot(-241{,}8) + (-74{,}8)\big) - \big((-393{,}5) + 4\cdot 0\big) = (-483{,}6 - 74{,}8) + 393{,}5.
\Delta_r H^\circ_{298} = -558{,}4 + 393{,}5 = -164{,}9\\ \mathrm{kJ/mol\;reação}.çã
Interpretação: a reação é exotérmica em cerca de -164{,}9\\ \mathrm{kJ} por mol de reação estequiométrica (por cada mol de \mathrm{CO}_2 consumido na reação completa).

Passo 4

Definir a base e contagens molares (com a hipótese de alimentação estequiométrica e base 1 mol \mathrm{CO}_2):
  • Alimentação (in): \mathrm{CO}_2: 1{,}0\\ \text{mol}, \mathrm{H}_2: 4{,}0\\ \text{mol}.
  • Conversão =0{,}8 ⇒ reação ocorre com extensão \xi = 0{,}8 mol da reação estequiométrica.
  • Consumo / produção:
    • \mathrm{CO}_2 reagido: 0{,}8 mol → \mathrm{CO}_2 remanescente =1{,}0-0{,}8=0{,}2 mol.
    • \mathrm{H}_2 consumido: 4\cdot0{,}8=3{,}2 mol → remanescente =4{,}0-3{,}2=0{,}8 mol.
    • \mathrm{CH}_4 formado: 0{,}8 mol.
    • \mathrm{H}_2\mathrm{O} formado: 2\cdot0{,}8=1{,}6 mol.
Portanto correntes de saída (por mol de \mathrm{CO}_2 alimentado):
\mathrm{CO}_2:0{,}2, \mathrm{H}_2:0{,}8, \mathrm{CH}_4:0{,}8, \mathrm{H}_2\mathrm{O}:1{,}6 (todas em mol).

Passo 5

Escolha dos c_p molares constantes (valores típicos usados em exercícios; estão em \mathrm{J/(mol\cdot K)}):
  • c_{p}(\mathrm{CO}_2) = 37{,}1,
  • c_{p}(\mathrm{H}_2) = 28{,}8,
  • c_{p}(\mathrm{H}_2\mathrm{O},\,\text{g}) = 33{,}6,
  • c_{p}(\mathrm{CH}_4) = 35{,}7.
Explique por que usar esses c_p: no intervalo 298 800\\ \mathrm{K} os c_p variam pouco e é comum em provas aproximar por constantes características; isso permite calcular \int_{298}^{T} c_p dT \approx c_p (T-298).
Calcule as contribuições sensíveis (entalpia acima de 298\\ \mathrm{K}):
  • Diferenças de temperatura: T_{\text{in}} - 298 = 673 - 298 = 375\\ \mathrm{K}, \qquad T_{\text{out}} - 298 = 773 - 298 = 475\\ \mathrm{K}.
Entalpias sensíveis dos fluxos de entrada (por mol de \mathrm{CO}_2 alimentado):
  • \mathrm{CO}_2 (entrada): 1{,}0\cdot c_{p}(\mathrm{CO}_2)\cdot(673-298) = 1{,}0\cdot 37{,}1 \cdot 375 = 13{.}912{,}5\\ \mathrm{kJ}.
  • \mathrm{H}_2 (entrada): 4{,}0\cdot 28{,}8 \cdot 375 = 43{.}200\\ \mathrm{kJ}.
Somando sensível na entrada:
\sum n_{i,\text{in}}\int_{298}^{T_{\text{in}}} c_{p,i}\,dT = 13{,}912{,}5 + 43{,}200 = 57{,}112{,}5\\ \mathrm{kJ}.
Entalpias sensíveis dos fluxos de saída:
  • \mathrm{CO}_2 (saída): 0{,}2\cdot 37{,}1 \cdot 475 = 3{,}529{,}5\\ \mathrm{kJ}.
  • \mathrm{H}_2 (saída): 0{,}8\cdot 28{,}8 \cdot 475 = 10{,}944\\ \mathrm{kJ}.
  • \mathrm{CH}_4 (saída): 0{,}8\cdot 35{,}7 \cdot 475 = 13{,}566\\ \mathrm{kJ}.
  • \mathrm{H}_2\mathrm{O} (saída): 1{,}6\cdot 33{,}6 \cdot 475 = 25{,}536\\ \mathrm{kJ}.
Somando sensível na saída:
\sum n_{i,\text{out}}\int_{298}^{T_{\text{out}}} c_{p,i}\,dT = 3{,}529{,}5 + 10{,}944 + 13{,}566 + 25{,}536 = 53{,}575{,}5\\ \mathrm{kJ}.
Diferença sensível (saída menos entrada):
\Delta h_{\text{sensível}} = 53{,}575{,}5 - 57{,}112{,}5 = -3{,}537{,}0\\ \mathrm{kJ}.í
Interpretação: sensivelmente, parte da entalpia desce (há uma pequena redução sensível neta).

Passo 6

Agora junte a contribuição química (entalpia de reação) com a contribuição sensível para obter Q.
Entalpia da reação para a extensão \xi = 0{,}8 (base 1 mol \mathrm{CO}_2 alimentado):
\text{Contribuição química} = \xi\cdot\Delta_r H^\circ_{298} = 0{,}8\cdot(-164{,}9) = -131{,}92\\ \mathrm{kJ}.çãí
Somando a parte sensível:
Q = \text{Contribuição química} + \Delta h_{\text{sensível}} = -131{,}92 + (-3{,}537) = -135{,}457\\ \mathrm{kJ}.çãíí
Arredondando razoavelmente (duas casas decimais):
Q \approx -135{,}46\\ \mathrm{kJ}\\ \text{por mol de }\mathrm{CO}_2\\ \text{alimentado}.
Interpretação do sinal: Q<0 significa que o processo libera calor e, para manter as condições (entrando a 400^\circ\mathrm{C} e saindo a 500^\circ\mathrm{C}), é necessário remover calor. Em outras palavras: é necessário um resfriamento de aproximadamente 135{,}5\\ \mathrm{kJ} por mol de \mathrm{CO}_2 alimentado.
Se preferir o calor por mol de \mathrm{CO}_2 reagido (por vezes é essa a convenção), divida por \xi=0{,}8:
\frac{-135{,}457}{0{,}8} \approx -169{,}32\\ \mathrm{kJ\;por\;mol\;reagido}.

Passo 7

Resumo numérico com as hipóteses feitas (estas hipóteses — base 1 mol \mathrm{CO}_2 e alimentação estequiométrica de \mathrm{H}_2 — são necessárias porque o enunciado não deu composição da alimentação):
  • Usei \Delta_r H^\circ_{298} = -164{,}9\\ \mathrm{kJ/mol} e c_p constantes típicos.
  • Resultado: calor a ser removido \approx 135{,}5\\ \mathrm{kJ} por mol de \mathrm{CO}_2 alimentado (ou \approx 169{,}3\\ \mathrm{kJ} por mol de \mathrm{CO}_2 efetivamente reagido).
Se você quiser, eu refaço com outra base (por exemplo por kmol, ou por mol de \mathrm{H}_2 alimentado) ou usando c_p(T) dependente de T (integração mais precisa), mas para uma prova essa aproximação é a esperada e rápida de aplicar — agora você tem o passo a passo e sabe como resolver no tempo da prova!

Resposta

Q \approx -135{,}46\\ \mathrm{kJ} por mol de \mathrm{CO}_2 alimentado (calor a ser removido).\newline
Q \approx -169{,}32\\ \mathrm{kJ} por mol de \mathrm{CO}_2 reagido (calor a ser removido).

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