Um reator batelada multipropósito pode ser utilizado para fabricar diferentes nanomateriais a partir de um de vários precursores. Cada produto possui uma quantidade máxima que é possível vender e um lucro associado, conforme a tabela abaixo:
Produto Lucro (R$/kg) Máxima venda possível (ton/mês)
P1 1.54 280
P2 1.19 320
P3 1.91 200
O reator opera 24 h por dia durante 30 dias por mês. Porém, o equipamento deve ser submetido a manutenção por 1 \mathrm{~h} / dia. Os ciclos de operação para cada produto possuem demandas temporais distintas e resultam em diferentes quantidades produzidas, como ilustrado na tabela abaixo:
Produto
Tempo de ciclo por
batelada (horas)
Quantidade produzida por
batelada (ton)
P1 9 28
P2 12 20
P3 9 25
Entretanto, sabe-se que uma das matérias-primas (ácido acrílico importado) utilizadas nesse processo produtivo possui fornecimento restrito devido a fatores de mercado e logística. A tabela abaixo apresenta a quantidade dessa matéria-prima crítica para a produção de cada batelada, bem como a quantidade disponível no mercado:
Matéria-Prima
Quantidade necessária
para cada batelada de
produto (ton)
Quantidade disponível no
mercado (ton/mês)
P 1 P 2
Ácido Acrílico
Importado
9.57 4.28 12.44 130
Todas as outras matérias-primas estão disponíveis sem restrições.
Você, como pessoa encarregada do processo, deve apresentar um relatório sobre a melhor condição para operar o reator. Formule uma função objetivo para isso. Como parte da sua tarefa, você deve identificar qualquer restrição para a produção mensal no reator em questão. Seu relatório deve incluir uma análise global sobre o problema apresentado e indicar claramente quantas bateladas devem ser produzidas para cada produto para que se tenha uma condição ótima de operação do reator. Além disso, você deve avaliar, separadamente, a possibilidade de que a restrição quanto à disponibilidade de ácido acrílico seja eliminada, bem como o impacto de operar o reator 24 h por dia durante 30 dias ao mês para condições ótimas do sistema em cada caso.

Passo 1

Vou listar com clareza o que o enunciado dá e o que é pedido (peguei todos os números do enunciado).
Dados (valores fornecidos):
  • Horas do mês: 24 h/dia × 30 dias = 720 h/mês. Manutenção: 1 h/dia → horas efetivas disponíveis: 23\\ \text{h/dia}\times 30\\ \text{dias}=690\\ \text{h/mês}.ê
  • Produtos, lucros e máximas vendas:
    • P1: lucro 1{,}54\\ \text{R\$/kg}, venda máxima 280\\ \text{ton/mês}ê.
    • P2: lucro 1{,}19\\ \text{R\$/kg}, venda máxima 320\\ \text{ton/mês}ê.
    • P3: lucro 1{,}91\\ \text{R\$/kg}, venda máxima 200\\ \text{ton/mês}ê.
  • Ciclos (tempo por batelada) e produção por batelada:
    • P1: 9 h/batelada, 28 ton/batelada.
    • P2: 12 h/batelada, 20 ton/batelada.
    • P3: 9 h/batelada, 25 ton/batelada.
  • Matéria-prima crítica (Ácido Acrílico Importado):
    • Consumo por batelada: P1 9{,}57 ton, P2 4{,}28 ton, P3 12{,}44 ton.
    • Disponível: 130 ton/mês.
  • Restrições de venda implícitas por produto (convertendo para número máximo de bateladas):
    • P1: máxima venda 280 ton → máximo de bateladas \left\lfloor \dfrac{280}{28}\right\rfloor = 10 bateladas.
    • P2: máxima venda 320 ton → máximo de bateladas \left\lfloor \dfrac{320}{20}\right\rfloor = 16 bateladas.
    • P3: máxima venda 200 ton → máximo de bateladas \left\lfloor \dfrac{200}{25}\right\rfloor = 8 bateladas.
O que o problema pede:
  • Formular a função objetivo (maximizar lucro) e identificar as restrições mensais do reator.
  • Indicar quantas bateladas de cada produto produzir para obter operação ótima.
  • Avaliar separadamente a situação em que a restrição de ácido acrílico é eliminada.
  • Avaliar o impacto de operar 24 h/dia (isto é, sem a 1 h/dia de manutenção) nas condições ótimas, em cada caso.

Passo 2

Definição das variáveis de decisão (bem explícito):
  • x_1 = número de bateladas de P1 por mês.
  • x_2 = número de bateladas de P2 por mês.
  • x_3 = número de bateladas de P3 por mês.
Observação: os x_i devem ser números não negativos. Na prática são inteiros (batches), mas vamos primeiro formular o problema como programação linear e depois discutir arredondamento inteiro.

Passo 3

Formulação da função objetivo (lucro mensal total).
Explicação rápida das unidades e como montar a função:
  • O lucro dado é por kg; 1 ton = 1000 kg. Então lucro por ton é lucro/kg × 1000.
    • Lucro por ton: P1 =1{,}54\times1000=1540\\ \text{R\$/ton},
      P2 =1{,}19\times1000=1190\\ \text{R\$/ton},
      P3 =1{,}91\times1000=1910\\ \text{R\$/ton}.
  • Lucro por batelada = (lucro por ton) × (tons por batelada):
    • P1: 1540\times28=43120\\ \text{R\$ por batelada}.
    • P2: 1190\times20=23800\\ \text{R\$ por batelada}.
    • P3: 1910\times25=47750\\ \text{R\$ por batelada}.
Função objetivo (maximizar lucro total Z):
\text{Maximizar}\quad Z=43120\,x_1+23800\,x_2+47750\,x_3.

Passo 4

Listagem e explicação das restrições mensais (todas derivadas do enunciado).
  1. Restrição de tempo do reator (horas disponíveis por mês):
9\,x_1+12\,x_2+9\,x_3 \le 690.
Explicação: cada batelada consome horas; a soma não pode exceder horas disponíveis 690 h/mês (23 h/dia × 30 dias).
  1. Restrição de matéria-prima crítica (ácido acrílico):
9{,}57\,x_1+4{,}28\,x_2+12{,}44\,x_3 \le 130.
Explicação: consumo por batelada multiplicado pelo número de bateladas não pode exceder a oferta mensal 130 ton.
  1. Restrição de venda máxima (convertida para bateladas):
0 \le x_1 \le 10,\qquad 0 \le x_2 \le 16,\qquad 0 \le x_3 \le 8.
Explicação: não faz sentido produzir mais do que o máximo que se pode vender.
  1. Não negatividade:
x_1,x_2,x_3 \ge 0.
Observação didática: para resolver este tipo de problema (maximização linear com restrições lineares) normalmente se usa programação linear. Quando há poucos produtos/variáveis, podemos usar raciocínio econômico (analisar qual produto traz mais lucro por recurso escasso) ou enumerar vértices. Vou usar raciocínio de valor relativo por recurso escasso, acompanhado de checagens.

Passo 5

Métricas úteis para decidir alocação (ensino prático: comparar “retorno por unidade do recurso escasso”).
Calculemos algumas razões que ajudam a priorizar produção:
  • Lucro por batelada (já calculado):
    \text{P1}=43120,\\ \text{P2}=23800,\\ \text{P3}=47750\\ (\text{R\$ por batelada}).
  • Lucro por hora de reator (útil se tempo for o recurso limitante):
    \frac{43120}{9}\approx4791{,}1,\quad \frac{23800}{12}\approx1983{,}3,\quad \frac{47750}{9}\approx5305{,}6\\ \text{(R\$/h)}.
    Interpretação: por hora de reator, P3 é o mais rentável, seguida de P1, depois P2.
  • Lucro por tonelada de ácido (útil se ácido for o recurso limitante):
    \frac{43120}{9{,}57}\approx4506{,}9,\quad \frac{23800}{4{,}28}\approx5560{,}7,\quad \frac{47750}{12{,}44}\approx3839{,}8\\ \text{(R\$/ton ácido)}.á
    Interpretação: por tonelada de ácido acrílico, P2 traz maior retorno, depois P1, e P3 é o pior.
Conclusão didática: qual recurso é efetivamente escasso? Se o ácido for o recurso limitante (aparece ter pouca oferta), devemos priorizar produtos com maior retorno por tonelada de ácido (P2 → P1 → P3). Se o tempo de reator fosse o limitante, priorizaríamos por lucro por hora (P3 → P1 → P2). Portanto precisamos verificar qual restrição realmente «massa» a solução ótima. Vamos verificar.

Passo 6

Estratégia prática para resolver: testar alocação de ácido (já que a comparação sugere que o ácido pode ser o limitante).
Passo a passo:
  • Primeiro, verificar se produzindo até os limites de venda de cada produto cabe no tempo e no ácido.
    • Se x_1=10,x_2=16,x_3=8 (todos no máximo de venda), consumiríamos:
      • Tempo: 9\cdot10+12\cdot16+9\cdot8 =90+192+72=354 h (menor que 690 h).
      • Ácido: 9{,}57\cdot10+4{,}28\cdot16+12{,}44\cdot8 =95{,}7+68{,}48+99{,}52=263{,}7 ton (maior que 130).
    • Conclusão: restrição de ácido é a que impede produzir tudo que se poderia vender; tempo não é limitante aqui. Logo, o ácido é o recurso escasso que determina a solução ótima.

Passo 7

Resolução ótima (caso com a restrição de ácido presente). Uso da lógica do “valor por tonelada de ácido”:
  • Priorizar P2 até seu máximo de venda porque P2 tem maior lucro por tonelada de ácido.
    • Máximo P2 em bateladas: x_2=16. Ácido consumido: 4{,}28\times16=68{,}48 ton.
    • Ácido restante: 130-68{,}48=61{,}52 ton.
  • Com ácido restante, priorizar P1 (segundo melhor por ton de ácido):
    • Cada batelada P1 consome 9{,}57 ton de ácido. Batches máximos que cabem: \left\lfloor \dfrac{61{,}52}{9{,}57}\right\rfloor =6 bateladas.
    • Ácido consumido por 6 bateladas P1: 6\times9{,}57=57{,}42 ton.
    • Ácido restante: 61{,}52-57{,}42=4{,}10 ton, insuficiente para mais uma batelada de qualquer produto (P2 precisa 4{,}28 ton e P3 precisa 12{,}44 ton).
  • Logo, uma solução inteira factível (e, por argumento de ótima alocação do recurso ácido, ótima entre soluções com variáveis inteiras) é:
    x_1=6,\quad x_2=16,\quad x_3=0.
Verificações finais para validade:
  • Tempo usado: 9\cdot6+12\cdot16+9\cdot0 =54+192+0=246\\ \text{h}\le 690\\ \text{h}. Ok.
  • Ácido usado: 9{,}57\cdot6+4{,}28\cdot16+12{,}44\cdot0 =57{,}42+68{,}48=125{,}90\\ \text{ton}\le130. Ok.
  • Vendas: P1: 6\times28=168\\ \text{ton}\le280. P2: 16\times20=320\\ \text{ton}=320. P3: 0\le200. Ok.
Cálculo do lucro mensal resultante:
Z=43120\cdot6+23800\cdot16=258720+380800=639520\\ \text{R\$}.
Comentário didático: se permitirmos soluções fracionárias (relaxação LP), a solução contínua ótima usa todo o ácido e seria x_2=16,\\ x_1\approx6{,}427,\\ x_3=0 com lucro ligeiramente maior \approx657{,}920{,}24\\ \text{R\$}. Mas como bateladas são discretas, x_1=6 é a solução inteira prática mais natural; é comum em produção você só poder fazer um número inteiro de bateladas.

Passo 8

Teste rápido de alternativas para confirmar que trocar bateladas por P3 não melhora solução (checagem de sensibilidade).
  • Trocar algumas bateladas de P2 por P3: por cada 3 bateladas de P2 trocadas por 1 de P3 (aprox. por questão de ácido), vimos perda líquida de lucro (ex.: perder 3×23800 e ganhar 47750 → perda).
  • Trocar P1 por P3: P1 dá mais lucro por tonelada de ácido que P3, logo qualquer substituição que gaste ácido adicional em P3 reduz lucro se o ácido é o gargalo.
    Portanto a priorização P2→P1→P3 é justificadamente ótima quando o ácido é limitante.

Passo 9

Situação alternativa: restrição de ácido eliminada (ácido ilimitado).
  • Se não existisse limite de ácido, as restrições relevantes seriam tempo do reator (690 h) e máximas vendas.
  • Testando produzir até os limites de venda: x_1=10,\quad x_2=16,\quad x_3=8consomem tempo 90+192+72=354 h <690 h. Ou seja, mesmo sem ácido, o tempo disponível é mais que suficiente para atender todas as vendas máximas. Portanto a solução ótima quando ácido é ilimitado é produzir até a demanda máxima de cada produto.
  • Lucro correspondente: Z=43120\cdot10+23800\cdot16+47750\cdot8=431200+380800+382000=1194000\\ \text{R\$}.
Comentário: aqui o gargalo passa a ser a demanda de venda — como o reator tem capacidade de sobra (690 h >> tempo necessário para atender vendas máximas), não se usa toda a disponibilidade.

Passo 10

Impacto de operar 24 h/dia (sem a 1 h/dia de manutenção): comparar 690 h (com manutenção) vs 720 h (sem manutenção).
  • Verificação quando o ácido é limitante (caso real):
    • Solução ótima encontrada com ácido limitado usou apenas 246 h, muito abaixo de 690 h. Aumentar disponibilidade para 720 h não altera a solução ótima porque o tempo não era o gargalo.
  • Verificação quando o ácido é eliminado:
    • Solução ótima (produzir até vendas máximas) usa 354 h. Mesmo com 720 h, ainda sobra folga. Então também não altera a solução ótima.
  • Conclusão: para os parâmetros dados, passar de 690 h para 720 h não altera a produção ótima em nenhum dos dois cenários porque o tempo do reator não é a restrição ativa; a restrição ativa é ou o ácido (com ácido limitado) ou a demanda de venda (com ácido eliminado).

Passo 11

Resumo prático e interpretação (para o relatório que você vai entregar):
  • Modelo de otimização (programação linear) foi formulado com função objetivo e restrições (tempo, ácido, vendas máximas).
  • Com o ácido limitado a 130 ton/mês, o ácido é o recurso escasso que determina a solução ótima; por isso priorizamos produtos com maior retorno por tonelada de ácido (P2 primeiro, depois P1).
  • Solução prática inteira recomendada (óptima sob as condições dadas): produzir 6 bateladas de P1, 16 bateladas de P2, e 0 de P3 por mês. Isto respeita tempo, ácido e limites de venda e maximiza o lucro discreto.
  • Se a restrição de ácido for eliminada, o reator tem capacidade suficiente para atender as máximas vendas de todos os produtos; então produza até os limites de venda: x_1=10,\\ x_2=16,\\ x_3=8.
  • Operar 24 h/dia (sem a 1 h/dia de manutenção) não muda as decisões ótimas em nenhum dos dois cenários, porque o tempo disponível já é mais que suficiente.

Resposta

Com restrição de ácido (ácido = 130 ton/mês, 23 h/dia → 690 h/mês): x_1=6,\\ x_2=16,\\ x_3=0 (batches/mês). Lucro = R$639{,}520; tempo usado = 246 h; ácido usado = 125{,}90 ton.
Sem restrição de ácido (ácido ilimitado): x_1=10,\\ x_2=16,\\ x_3=8 (batches/mês), produzindo até a venda máxima de cada produto. Lucro = R$1{,}194{,}000; tempo usado = 354 h.
Impacto de operar 24 h/dia em vez de 23 h/dia: nenhuma mudança nas decisões ótimas em ambos os cenários (hora extra não é limitante; disponibilidade de tempo já é suficiente).

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