Um reator batelada multipropósito pode ser utilizado para fabricar diferentes nanomateriais a partir de um de vários precursores. Cada produto possui uma quantidade máxima que é possível vender e um lucro associado, conforme a tabela abaixo:
Produto
Lucro (R$/kg)
Máxima venda possível (ton/mês)
P1
1.54
280
P2
1.19
320
P3
1.91
200
O reator opera 24 h por dia durante 30 dias por mês. Porém, o equipamento deve ser submetido a manutenção por
dia. Os ciclos de operação para cada produto possuem demandas temporais distintas e resultam em diferentes quantidades produzidas, como ilustrado na tabela abaixo:
Produto
Tempo de ciclo por
batelada (horas)
Quantidade produzida por
batelada (ton)
P1
9
28
P2
12
20
P3
9
25
Entretanto, sabe-se que uma das matérias-primas (ácido acrílico importado) utilizadas nesse processo produtivo possui fornecimento restrito devido a fatores de mercado e logística. A tabela abaixo apresenta a quantidade dessa matéria-prima crítica para a produção de cada batelada, bem como a quantidade disponível no mercado:
Matéria-Prima
Quantidade necessária
para cada batelada de
produto (ton)
Quantidade disponível no
mercado (ton/mês)
P 1
P 2
Ácido Acrílico
Importado
9.57
4.28
12.44
130
Todas as outras matérias-primas estão disponíveis sem restrições.
Você, como pessoa encarregada do processo, deve apresentar um relatório sobre a melhor condição para operar o reator. Formule uma função objetivo para isso. Como parte da sua tarefa, você deve identificar qualquer restrição para a produção mensal no reator em questão. Seu relatório deve incluir uma análise global sobre o problema apresentado e indicar claramente quantas bateladas devem ser produzidas para cada produto para que se tenha uma condição ótima de operação do reator. Além disso, você deve avaliar, separadamente, a possibilidade de que a restrição quanto à disponibilidade de ácido acrílico seja eliminada, bem como o impacto de operar o reator 24 h por dia durante 30 dias ao mês para condições ótimas do sistema em cada caso.
| Produto | Lucro (R$/kg) | Máxima venda possível (ton/mês) |
| P1 | 1.54 | 280 |
| P2 | 1.19 | 320 |
| P3 | 1.91 | 200 |
| Produto |
|
|
||||
| P1 | 9 | 28 | ||||
| P2 | 12 | 20 | ||||
| P3 | 9 | 25 |
| Matéria-Prima |
|
|
|||||||
| P 1 | P 2 | ||||||||
|
9.57 | 4.28 | 12.44 | 130 | |||||
Passo 1
Vou listar com clareza o que o enunciado dá e o que é pedido (peguei todos os números do enunciado).
Dados (valores fornecidos):
- Horas do mês: 24 h/dia × 30 dias =
h/mês. Manutenção: h/dia → horas efetivas disponíveis: - Produtos, lucros e máximas vendas:
- P1: lucro
, venda máxima . - P2: lucro
, venda máxima . - P3: lucro
, venda máxima .
- P1: lucro
- Ciclos (tempo por batelada) e produção por batelada:
- P1:
h/batelada, ton/batelada. - P2:
h/batelada, ton/batelada. - P3:
h/batelada, ton/batelada.
- P1:
- Matéria-prima crítica (Ácido Acrílico Importado):
- Consumo por batelada: P1
ton, P2 ton, P3 ton. - Disponível:
ton/mês.
- Consumo por batelada: P1
- Restrições de venda implícitas por produto (convertendo para número máximo de bateladas):
- P1: máxima venda
ton → máximo de bateladas bateladas. - P2: máxima venda
ton → máximo de bateladas bateladas. - P3: máxima venda
ton → máximo de bateladas bateladas.
- P1: máxima venda
O que o problema pede:
- Formular a função objetivo (maximizar lucro) e identificar as restrições mensais do reator.
- Indicar quantas bateladas de cada produto produzir para obter operação ótima.
- Avaliar separadamente a situação em que a restrição de ácido acrílico é eliminada.
- Avaliar o impacto de operar 24 h/dia (isto é, sem a 1 h/dia de manutenção) nas condições ótimas, em cada caso.
Passo 2
Definição das variáveis de decisão (bem explícito):
-
= número de bateladas de P1 por mês. -
= número de bateladas de P2 por mês. -
= número de bateladas de P3 por mês.
Observação: os
devem ser números não negativos. Na prática são inteiros (batches), mas vamos primeiro formular o problema como programação linear e depois discutir arredondamento inteiro.
Passo 3
Formulação da função objetivo (lucro mensal total).
Explicação rápida das unidades e como montar a função:
- O lucro dado é por kg; 1 ton = 1000 kg. Então lucro por ton é lucro/kg × 1000.
- Lucro por ton: P1
,
P2,
P3.
- Lucro por ton: P1
- Lucro por batelada = (lucro por ton) × (tons por batelada):
- P1:
. - P2:
. - P3:
.
- P1:
Função objetivo (maximizar lucro total
):
Passo 4
Listagem e explicação das restrições mensais (todas derivadas do enunciado).
- Restrição de tempo do reator (horas disponíveis por mês):
Explicação: cada batelada consome horas; a soma não pode exceder horas disponíveis
h/mês (23 h/dia × 30 dias).
- Restrição de matéria-prima crítica (ácido acrílico):
Explicação: consumo por batelada multiplicado pelo número de bateladas não pode exceder a oferta mensal
ton.
- Restrição de venda máxima (convertida para bateladas):
Explicação: não faz sentido produzir mais do que o máximo que se pode vender.
- Não negatividade:
Observação didática: para resolver este tipo de problema (maximização linear com restrições lineares) normalmente se usa programação linear. Quando há poucos produtos/variáveis, podemos usar raciocínio econômico (analisar qual produto traz mais lucro por recurso escasso) ou enumerar vértices. Vou usar raciocínio de valor relativo por recurso escasso, acompanhado de checagens.
Passo 5
Métricas úteis para decidir alocação (ensino prático: comparar “retorno por unidade do recurso escasso”).
Calculemos algumas razões que ajudam a priorizar produção:
-
Lucro por batelada (já calculado):
-
Lucro por hora de reator (útil se tempo for o recurso limitante):Interpretação: por hora de reator, P3 é o mais rentável, seguida de P1, depois P2.
-
Lucro por tonelada de ácido (útil se ácido for o recurso limitante):Interpretação: por tonelada de ácido acrílico, P2 traz maior retorno, depois P1, e P3 é o pior.
Conclusão didática: qual recurso é efetivamente escasso? Se o ácido for o recurso limitante (aparece ter pouca oferta), devemos priorizar produtos com maior retorno por tonelada de ácido (P2 → P1 → P3). Se o tempo de reator fosse o limitante, priorizaríamos por lucro por hora (P3 → P1 → P2). Portanto precisamos verificar qual restrição realmente «massa» a solução ótima. Vamos verificar.
Passo 6
Estratégia prática para resolver: testar alocação de ácido (já que a comparação sugere que o ácido pode ser o limitante).
Passo a passo:
- Primeiro, verificar se produzindo até os limites de venda de cada produto cabe no tempo e no ácido.
- Se
(todos no máximo de venda), consumiríamos: - Tempo:
h (menor que 690 h). - Ácido:
ton (maior que 130).
- Tempo:
- Conclusão: restrição de ácido é a que impede produzir tudo que se poderia vender; tempo não é limitante aqui. Logo, o ácido é o recurso escasso que determina a solução ótima.
- Se
Passo 7
Resolução ótima (caso com a restrição de ácido presente). Uso da lógica do “valor por tonelada de ácido”:
-
Priorizar P2 até seu máximo de venda porque P2 tem maior lucro por tonelada de ácido.
- Máximo P2 em bateladas:
. Ácido consumido: ton. - Ácido restante:
ton.
- Máximo P2 em bateladas:
-
Com ácido restante, priorizar P1 (segundo melhor por ton de ácido):
- Cada batelada P1 consome
ton de ácido. Batches máximos que cabem: bateladas. - Ácido consumido por 6 bateladas P1:
ton. - Ácido restante:
ton, insuficiente para mais uma batelada de qualquer produto (P2 precisa 4{,}28 ton e P3 precisa 12{,}44 ton).
- Cada batelada P1 consome
-
Logo, uma solução inteira factível (e, por argumento de ótima alocação do recurso ácido, ótima entre soluções com variáveis inteiras) é:
Verificações finais para validade:
- Tempo usado:
. Ok. - Ácido usado:
. Ok. - Vendas: P1:
. P2: . P3: . Ok.
Cálculo do lucro mensal resultante:
Comentário didático: se permitirmos soluções fracionárias (relaxação LP), a solução contínua ótima usa todo o ácido e seria
com lucro ligeiramente maior
. Mas como bateladas são discretas,
é a solução inteira prática mais natural; é comum em produção você só poder fazer um número inteiro de bateladas.
Passo 8
Teste rápido de alternativas para confirmar que trocar bateladas por P3 não melhora solução (checagem de sensibilidade).
- Trocar algumas bateladas de P2 por P3: por cada 3 bateladas de P2 trocadas por 1 de P3 (aprox. por questão de ácido), vimos perda líquida de lucro (ex.: perder 3×23800 e ganhar 47750 → perda).
- Trocar P1 por P3: P1 dá mais lucro por tonelada de ácido que P3, logo qualquer substituição que gaste ácido adicional em P3 reduz lucro se o ácido é o gargalo.
Portanto a priorização P2→P1→P3 é justificadamente ótima quando o ácido é limitante.
Passo 9
Situação alternativa: restrição de ácido eliminada (ácido ilimitado).
- Se não existisse limite de ácido, as restrições relevantes seriam tempo do reator (690 h) e máximas vendas.
- Testando produzir até os limites de venda:
consomem tempo h h. Ou seja, mesmo sem ácido, o tempo disponível é mais que suficiente para atender todas as vendas máximas. Portanto a solução ótima quando ácido é ilimitado é produzir até a demanda máxima de cada produto. - Lucro correspondente:
Comentário: aqui o gargalo passa a ser a demanda de venda — como o reator tem capacidade de sobra (690 h >> tempo necessário para atender vendas máximas), não se usa toda a disponibilidade.
Passo 10
Impacto de operar 24 h/dia (sem a 1 h/dia de manutenção): comparar 690 h (com manutenção) vs 720 h (sem manutenção).
- Verificação quando o ácido é limitante (caso real):
- Solução ótima encontrada com ácido limitado usou apenas
h, muito abaixo de h. Aumentar disponibilidade para h não altera a solução ótima porque o tempo não era o gargalo.
- Solução ótima encontrada com ácido limitado usou apenas
- Verificação quando o ácido é eliminado:
- Solução ótima (produzir até vendas máximas) usa
h. Mesmo com h, ainda sobra folga. Então também não altera a solução ótima.
- Solução ótima (produzir até vendas máximas) usa
- Conclusão: para os parâmetros dados, passar de
h para h não altera a produção ótima em nenhum dos dois cenários porque o tempo do reator não é a restrição ativa; a restrição ativa é ou o ácido (com ácido limitado) ou a demanda de venda (com ácido eliminado).
Passo 11
Resumo prático e interpretação (para o relatório que você vai entregar):
- Modelo de otimização (programação linear) foi formulado com função objetivo e restrições (tempo, ácido, vendas máximas).
- Com o ácido limitado a
ton/mês, o ácido é o recurso escasso que determina a solução ótima; por isso priorizamos produtos com maior retorno por tonelada de ácido (P2 primeiro, depois P1). - Solução prática inteira recomendada (óptima sob as condições dadas): produzir
bateladas de P1, bateladas de P2, e de P3 por mês. Isto respeita tempo, ácido e limites de venda e maximiza o lucro discreto. - Se a restrição de ácido for eliminada, o reator tem capacidade suficiente para atender as máximas vendas de todos os produtos; então produza até os limites de venda:
. - Operar 24 h/dia (sem a 1 h/dia de manutenção) não muda as decisões ótimas em nenhum dos dois cenários, porque o tempo disponível já é mais que suficiente.
Resposta
Com restrição de ácido (ácido = 130 ton/mês, 23 h/dia → 690 h/mês):
(batches/mês). Lucro = R$639{,}520; tempo usado = 246 h; ácido usado = 125{,}90 ton.
Sem restrição de ácido (ácido ilimitado):
(batches/mês), produzindo até a venda máxima de cada produto. Lucro = R$1{,}194{,}000; tempo usado = 354 h.
Impacto de operar 24 h/dia em vez de 23 h/dia: nenhuma mudança nas decisões ótimas em ambos os cenários (hora extra não é limitante; disponibilidade de tempo já é suficiente).