Quer-se resfriar óleo de máquina de 80^{\circ} \mathrm{C} para 50^{\circ} \mathrm{C} em um trocador de calor tubular concêntrico de passe único, operando em contracorrente, resfriado por água a 20^{\circ} \mathrm{C}. A água flui dentro de um tubo com diâmetro interno \mathrm{D}_{\mathrm{i}}=25 \mathrm{~mm}, a uma vazão mássica 0,08 \mathrm{~kg} / \mathrm{s} e o óleo flui através do espaço anular a uma vazão \mathrm{m}= 0,16 \mathrm{~kg} / \mathrm{s}. Os coeficientes de película no lado da água e no lado do óleo são, respectivamente, 1.000 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2} .^{\circ} \mathrm{C} e 80 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2} .^{\circ} \mathrm{C}. As resistências térmicas da parede e das incrustações são desprezíveis. Calcule o comprimento necessário do tubo. Considere os calores específicos da água 4.180 \mathrm{~J} / \mathrm{kg} .{ }^{\circ} \mathrm{C} e do óleo 2.090 \mathrm{~J} / \mathrm{kg} .{ }^{\circ} \mathrm{C}.

Passo 1

O que o problema pede: calcular o comprimento necessário do tubo do trocador concêntrico (passe único, contracorrente) para resfriar o óleo de 80^{\circ}\mathrm{C} para 50^{\circ}\mathrm{C} usando água a 20^{\circ}\mathrm{C}.
Dados fornecidos (vou listar todos, exatamente como vieram):
\begin{aligned} &\text{diâmetro interno do tubo (água)}\quad D_i=25\\ \mathrm{mm}=0{,}025\\ \mathrm{m},\\\ &\dot{m}_{\text{água}}=0{,}08\\ \mathrm{kg/s},\\\ &\dot{m}_{\text{óleo}}=0{,}16\\ \mathrm{kg/s},\\\ &h_{\text{água (filme)}}=1{.}000\\ \mathrm{W/m^2\cdot ^\circ C},\\\ &h_{\text{óleo (filme)}}=80\\ \mathrm{W/m^2\cdot ^\circ C},\\\ &c_{p,\text{água}}=4{.}180\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot ^\circ C)}=4180\\ \mathrm{J/(kg\cdot ^\circ C)},\\\ &c_{p,\text{óleo}}=2{.}090\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot ^\circ C)}=2090\\ \mathrm{J/(kg\cdot ^\circ C)},\\\ &T_{\text{oil,in}}=80^\circ\mathrm{C},\quad T_{\text{oil,out}}=50^\circ\mathrm{C},\quad T_{\text{water,in}}=20^\circ\mathrm{C}. \end{aligned}âááóáóáó

Passo 2

Calcular a potência térmica (fluxo de calor) transferida do óleo:
a equação de balanço de energia para o óleo (assumindo propriedades constantes) é
Q=\dot{m}_{\text{óleo}}\,c_{p,\text{óleo}}\,(T_{\text{oil,in}}-T_{\text{oil,out}}).óó
Aqui \dot{m}_{\text{óleo}}ó é a vazão mássica do óleo (kg/s), c_{p,\text{óleo}}ó é o calor específico (J/kg·°C) e a diferença de temperatura é a queda do óleo. Substituindo:
Q=0{,}16\cdot 2090\cdot(80-50)=0{,}16\cdot 2090\cdot 30.
Calculando:
2090\cdot 30=62.700,\qquad Q=0{,}16\cdot 62.700=10.032\\ \mathrm{W}.

Passo 3

Definir as taxas de capacidade térmica de cada corrente:
C_{\text{água}}=\dot{m}_{\text{água}}\,c_{p,\text{água}},\qquad C_{\text{óleo}}=\dot{m}_{\text{óleo}}\,c_{p,\text{óleo}}.áááóóó
Substituindo:
C_{\text{água}}=0{,}08\cdot 4180=334{,}4\\ \mathrm{W/K},á
C_{\text{óleo}}=0{,}16\cdot 2090=334{,}4\\ \mathrm{W/K}.ó
Observação importante (útil para a técnica de projeto): aqui temos C_{\text{água}}=C_{\text{óleo}}áó. Então C_{\min}=C_{\max}=334{,}4\\ \mathrm{W/K} e a razão de capacidades C_r=C_{\min}/C_{\max}=1.
Explicando didaticamente: a taxa de capacidade térmica C=\dot{m}c_p diz quanto calor a massa de fluido pode “aceitar” por grau de temperatura. O menor C controla quanto calor máximo pode ser trocado.

Passo 4

Calcular Q_{\max} (o calor máximo teoricamente disponível) e a eficácia \varepsilon:
Q_{\max}=C_{\min}\,(T_{\text{hot,in}}-T_{\text{cold,in}}).
Aqui T_{\text{hot,in}} é a temperatura de entrada do fluido mais quente (óleo \,80^\circ\mathrm{C}) e T_{\text{cold,in}} a da água ( 20^\circ\mathrm{C}). Então:
Q_{\max}=334{,}4\cdot(80-20)=334{,}4\cdot 60=20.064\\ \mathrm{W}.
A eficácia é
\varepsilon=\frac{Q}{Q_{\max}}=\frac{10.032}{20.064}=0{,}5.
Interpretação: o trocador efetivamente usa metade do calor máximo teoricamente possível dadas as vazões e Cp’s.

Passo 5

Usar o método NTU-ε para achar o NTU necessário. Definição de NTU:
\mathrm{NTU}=\frac{U\,A}{C_{\min}},
onde U é o coeficiente global de transferência de calor (W/m^2·°C), A a área de troca (m^2) e C_{\min} já calculado.
Fórmula da eficácia para trocador em contracorrente (caso geral) é
\varepsilon=\frac{1-\exp\big(-\mathrm{NTU}(1-C_r)\big)}{1-C_r\exp\big(-\mathrm{NTU}(1-C_r)\big)}.
Quando C_r=1 (caso nosso), toma-se o limite e a fórmula simplifica para
\varepsilon=\frac{\mathrm{NTU}}{1+\mathrm{NTU}}.
Reorganizando para obter \mathrm{NTU}:
\mathrm{NTU}=\frac{\varepsilon}{1-\varepsilon}.
Substituindo \varepsilon=0{,}5:
\mathrm{NTU}=\frac{0{,}5}{1-0{,}5}=\frac{0{,}5}{0{,}5}=1.

Passo 6

Determinar o coeficiente global U a partir dos coeficientes de película. Como as resistências da parede e incrustações são desprezíveis e não temos dados de diferença de áreas significativas (parede fino, área de referência tomada igual), a resistência total é soma das resistências convectivas internas e externas por unidade de área de referência; para área de referência idêntica:
\frac{1}{U}=\frac{1}{h_{\text{água}}}+\frac{1}{h_{\text{óleo}}}.áó
Explicando: cada termo 1/h é a resistência térmica convectiva (m^2·°C/W) do filme. Somando-as obtemos a resistência total por unidade de área e então U é o inverso.
Substituindo valores:
\frac{1}{U}=\frac{1}{1000}+\frac{1}{80}=\frac{1}{1000}+ \frac{1}{80}.
Calcule:
\frac{1}{80}=0{,}0125,\qquad \frac{1}{1000}=0{,}001,
\frac{1}{U}=0{,}0135\quad\Rightarrow\quad U=\frac{1}{0{,}0135}\approx 74{,}074074\\ \mathrm{W/(m^2\cdot ^\circ C)}.
(ou, de forma exata com frações, U=\dfrac{1000\cdot 80}{1000+80}=\dfrac{80.000}{1080}= \dfrac{2000}{27}\\ \mathrm{W/(m^2\cdot ^\circ C)}.)
Observação didática: usei aqui a hipótese prática de que a área de referência para ambas as resistências é a mesma (área interna A=\pi D_i L); isso é comum quando a espessura da parede é desprezível.

Passo 7

Relacionar NTU, U e a área A e isolar o comprimento L.
Sabemos
\mathrm{NTU}=\frac{U\,A}{C_{\min}},\qquad A=\pi D_i L.
Isolando L:
L=\frac{\mathrm{NTU}\,C_{\min}}{U\,\pi D_i}.
Substituindo \mathrm{NTU}=1 e C_{\min}=334{,}4\\ \mathrm{W/K}:
L=\frac{1\cdot 334{,}4}{U\,\pi D_i}.

Passo 8

Fazer as contas numéricas finais. Usando U=\dfrac{2000}{27}\\ \mathrm{W/(m^2\cdot ^\circ C)} e D_i=0{,}025\\ \mathrm{m}:
U\,\pi D_i=\frac{2000}{27}\cdot \pi\cdot 0{,}025=\frac{50\pi}{27}\\ \mathrm{W/m}.
Então
L=\frac{334{,}4}{(50\pi/27)}=334{,}4\cdot\frac{27}{50\pi}=\frac{9028{,}8}{50\pi}=\frac{180{,}576}{\pi}.
Calculando numericamente:
L\approx \frac{180{,}576}{3{,}14159}\approx 57{,}46\\ \mathrm{m}.

Passo 9

Interpretação final e observação: o comprimento requerido do tubo é aproximadamente 57{,}46\\ \mathrm{m}. Relembro as hipóteses usadas: resistências de parede e incrustação desprezíveis e área de referência idêntica para as resistências convectivas (próprio para parede muito fina). Essas hipóteses são exatamente as dadas ou justificadas pelo enunciado.

Resposta

57{,}46\\ \mathrm{m}

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