Um tronco de pirâmide regular tem como bases triângulos equiláteros cujos lados medem, respectivamente, 2 cm e 8 cm . A aresta lateral mede 5 cm . Calcule a área lateral, a área total e o volume desse tronco.

Passo 1

O enunciado dá um tronco de pirâmide regular cujas bases são triângulos equiláteros e informa:
  • lado do triângulo menor: 2\\ \text{cm};
  • lado do triângulo maior: 8\\ \text{cm};
  • aresta lateral (aresta que liga vértice correspondente da base menor à base maior): 5\\ \text{cm}.
O que pede:
  • a área lateral do tronco;
  • a área total do tronco;
  • o volume do tronco.
Guardei que as duas bases são triângulos equiláteros e que a pirâmide é regular (centros das bases alinhados verticalmente), informação que usamos para relacionar raios, apotemas e alturas.

Passo 2

Primeiro vamos lembrar e calcular algumas medidas úteis dos triângulos equiláteros.
Para um triângulo equilátero de lado a temos a altura interna
h=\frac{a\sqrt{3}}{2}.
O centro (circuncentro/centroide/incentro) fica a \tfrac{2}{3}h do vértice, portanto o raio da circunferência circunscrita (distância do centro ao vértice) é
R=\frac{2}{3}h=\frac{a}{\sqrt{3}}.
A apótema (inradius), distância do centro ao lado, é \tfrac{1}{3}h, logo
r=\frac{a}{2\sqrt{3}}.
Agora aplico isso às duas bases:
  • para a_1=2: \;R_1=\dfrac{2}{\sqrt{3}},\; r_1=\dfrac{1}{\sqrt{3}}.
  • para a_2=8: \;R_2=\dfrac{8}{\sqrt{3}},\; r_2=\dfrac{4}{\sqrt{3}}.

Passo 3

Calculo a distância horizontal entre vértices correspondentes (projeção no plano da base): é a diferença dos raios circunscritos
\Delta = R_2-R_1=\frac{8-2}{\sqrt{3}}=\frac{6}{\sqrt{3}}=2\sqrt{3}.
A aresta lateral fornecida é a aresta oblíqua que une os vértices correspondentes; aplicando Pitágoras na aresta lateral (hipotenusa), a componente vertical é a altura do tronco H. Assim
5^2 = H^2 + \Delta^2 \quad\Rightarrow\quad H=\sqrt{5^2-(2\sqrt{3})^2}=\sqrt{25-12}=\sqrt{13}.

Passo 4

Para achar a área lateral precisamos da altura dos trapézios que formam as faces laterais (a “slant height” de cada face), ou seja, a distância perpendicular entre as bases do trapézio lateral. Essa distância é a hipotenusa formada pela altura vertical H e pela diferença das apótemas (distância entre pontos médios dos lados correspondentes):
r_2-r_1=\frac{4}{\sqrt{3}}-\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{3}{\sqrt{3}}=\sqrt{3}.
Logo a altura do trapézio (slant height) vale
s=\sqrt{H^2+(r_2-r_1)^2}=\sqrt{13+(\sqrt{3})^2}=\sqrt{13+3}=\sqrt{16}=4.
Interpretação: cada face lateral é um trapézio isósceles com bases paralelas de comprimentos 2 e 8 e altura 4.

Passo 5

Área de um desses trapézios (uma face lateral) é
A_{\text{trap}}=\frac{(b_1+b_2)}{2}\cdot s=\frac{2+8}{2}\cdot 4=5\cdot 4=20\\ \text{cm}^2.
Como há 3 faces iguais (triângulo com 3 lados), a área lateral total é
A_{\text{lateral}}=3\cdot 20=60\\ \text{cm}^2.

Passo 6

Agora as áreas das bases (triângulos equiláteros). Fórmula da área do triângulo equilátero de lado a:
A=\frac{\sqrt{3}}{4}a^2.
Para a_1=2:
A_1=\frac{\sqrt{3}}{4}\cdot 2^2=\sqrt{3}.
Para a_2=8:
A_2=\frac{\sqrt{3}}{4}\cdot 8^2=16\sqrt{3}.
Soma das áreas das bases:
A_{\text{bases}}=A_1+A_2=\sqrt{3}+16\sqrt{3}=17\sqrt{3}.

Passo 7

Área total do tronco = área lateral + áreas das bases:
A_{\text{total}}=60+17\sqrt{3}\\ \text{cm}^2.

Passo 8

Volume do tronco de pirâmide: fórmula padrão (pode ser vista como volume do grande cone/pirâmide menos o pequeno) é
V=\frac{H}{3}\left(B_1+B_2+\sqrt{B_1B_2}\right),
onde B_1 e B_2 são as áreas das bases e H a altura vertical do tronco. Aqui B_1=\sqrt{3}, B_2=16\sqrt{3} e H=\sqrt{13}. Primeiro
\sqrt{B_1B_2}=\sqrt{\sqrt{3}\cdot 16\sqrt{3}}=\sqrt{16\cdot 3}=4\sqrt{3}.
Portanto
B_1+B_2+\sqrt{B_1B_2}=\sqrt{3}+16\sqrt{3}+4\sqrt{3}=21\sqrt{3}.
Logo
V=\frac{\sqrt{13}}{3}\cdot 21\sqrt{3}=7\sqrt{13}\sqrt{3}=7\sqrt{39}\\ \text{cm}^3.

Resposta

A_{\text{lateral}}=60\\ \text{cm}^2
A_{\text{total}}=60+17\sqrt{3}\\ \text{cm}^2
V=7\sqrt{39}\\ \text{cm}^3

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