Um tronco de pirâmide regular tem como bases triângulos equiláteros cujos lados medem, respectivamente, 2 cm e 8 cm . A aresta lateral mede 5 cm . Calcule a área lateral, a área total e o volume desse tronco.
Passo 1
O enunciado dá um tronco de pirâmide regular cujas bases são triângulos equiláteros e informa:
- lado do triângulo menor:
; - lado do triângulo maior:
; - aresta lateral (aresta que liga vértice correspondente da base menor à base maior):
.
O que pede:
- a área lateral do tronco;
- a área total do tronco;
- o volume do tronco.
Guardei que as duas bases são triângulos equiláteros e que a pirâmide é regular (centros das bases alinhados verticalmente), informação que usamos para relacionar raios, apotemas e alturas.
Passo 2
Primeiro vamos lembrar e calcular algumas medidas úteis dos triângulos equiláteros.
Para um triângulo equilátero de lado temos a altura interna
Para um triângulo equilátero de lado
O centro (circuncentro/centroide/incentro) fica a
do vértice, portanto o raio da circunferência circunscrita (distância do centro ao vértice) é
A apótema (inradius), distância do centro ao lado, é
, logo
Agora aplico isso às duas bases:
- para
: - para
:
Passo 3
Calculo a distância horizontal entre vértices correspondentes (projeção no plano da base): é a diferença dos raios circunscritos
A aresta lateral fornecida é a aresta oblíqua que une os vértices correspondentes; aplicando Pitágoras na aresta lateral (hipotenusa), a componente vertical é a altura do tronco
. Assim
Passo 4
Para achar a área lateral precisamos da altura dos trapézios que formam as faces laterais (a “slant height” de cada face), ou seja, a distância perpendicular entre as bases do trapézio lateral. Essa distância é a hipotenusa formada pela altura vertical
e pela diferença das apótemas (distância entre pontos médios dos lados correspondentes):
Logo a altura do trapézio (slant height) vale
Interpretação: cada face lateral é um trapézio isósceles com bases paralelas de comprimentos
e
e altura
.
Passo 5
Área de um desses trapézios (uma face lateral) é
Como há 3 faces iguais (triângulo com 3 lados), a área lateral total é
Passo 6
Agora as áreas das bases (triângulos equiláteros). Fórmula da área do triângulo equilátero de lado
:
Para
:
Para
:
Soma das áreas das bases:
Passo 7
Área total do tronco = área lateral + áreas das bases:
Passo 8
Volume do tronco de pirâmide: fórmula padrão (pode ser vista como volume do grande cone/pirâmide menos o pequeno) é
onde
e
são as áreas das bases e
a altura vertical do tronco. Aqui
,
e
. Primeiro
Portanto
Logo